Номер 91, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Сравните площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке 10.

Рис. 10

$y = \frac{4}{x}$

$\frac{1}{2}$

Для того чтобы сравнить площади заштрихованных на рисунке криволинейных трапеций, необходимо вычислить площадь каждой из них. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу осью Ox и с боков прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

На рисунке изображен график функции $y = \frac{4}{x}$.

Сначала найдем площадь первой заштрихованной трапеции, обозначим ее $S_1$. Эта трапеция ограничена графиком функции и прямыми $x = \frac{1}{2}$ и $x = 1$.

$S_1 = \int_{1/2}^{1} \frac{4}{x} dx = 4 \int_{1/2}^{1} \frac{1}{x} dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является $F(x) = \ln|x|$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S_1 = 4 [\ln|x|]_{1/2}^{1} = 4 (\ln|1| - \ln|\frac{1}{2}|)$

Так как на интервале $[\frac{1}{2}, 1]$ значение $x > 0$, знак модуля можно опустить. Учитывая, что $\ln(1) = 0$ и $\ln(\frac{1}{2}) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)$, получаем:

$S_1 = 4 (0 - (-\ln(2))) = 4\ln(2)$

Теперь найдем площадь второй заштрихованной трапеции, обозначим ее $S_2$. Она ограничена графиком функции и прямыми $x = 2$ и $x = 4$.

$S_2 = \int_{2}^{4} \frac{4}{x} dx = 4 \int_{2}^{4} \frac{1}{x} dx$

Используя ту же первообразную и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S_2 = 4 [\ln|x|]_{2}^{4} = 4 (\ln|4| - \ln|2|)$

На интервале $[2, 4]$ значение $x > 0$, поэтому знак модуля также можно опустить. Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, преобразуем выражение:

$S_2 = 4 \ln(\frac{4}{2}) = 4\ln(2)$

Сравнивая полученные результаты для площадей, мы видим, что $S_1 = 4\ln(2)$ и $S_2 = 4\ln(2)$.

Следовательно, $S_1 = S_2$.

Ответ: Площади заштрихованных криволинейных трапеций равны.