Номер 87, страница 83 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Для функции $f(x) = 9 - 5x$ найдите такую первообразную, чтобы прямая $y = -6x + 3$ являлась касательной к её графику.

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная для функции $f(x) = 9 - 5x$.
Общий вид первообразных для функции $f(x)$ находится путем интегрирования:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (9 - 5x) dx = 9x - 5\frac{x^2}{2} + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.

По условию, прямая $y = -6x + 3$ является касательной к графику функции $F(x)$ в некоторой точке $x_0$.
Условие касания прямой и графика функции в точке $x_0$ означает, что в этой точке должны выполняться два равенства:
1. Значение производной функции равно угловому коэффициенту касательной: $F'(x_0) = k$.
2. Значения функции и касательной совпадают: $F(x_0) = y(x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $y = -6x + 3$ равен $k = -6$.
Производная первообразной $F'(x)$ по определению равна исходной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = 9 - 5x$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из первого условия:
$F'(x_0) = -6$
$9 - 5x_0 = -6$
$-5x_0 = -15$
$x_0 = 3$

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 3$ в уравнение касательной:
$y_0 = -6(3) + 3 = -18 + 3 = -15$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(3; -15)$.

Используем второе условие: точка касания $(3; -15)$ должна лежать на графике функции $F(x)$, то есть $F(3) = -15$. Подставим эти значения в общую формулу первообразной, чтобы найти константу $C$:
$F(3) = 9(3) - \frac{5}{2}(3)^2 + C = -15$
$27 - \frac{5}{2} \cdot 9 + C = -15$
$27 - \frac{45}{2} + C = -15$
$\frac{54}{2} - \frac{45}{2} + C = -15$
$\frac{9}{2} + C = -15$
$C = -15 - \frac{9}{2} = -\frac{30}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{39}{2}$.

Подставим найденное значение $C$ в общую формулу первообразной, чтобы получить искомую функцию:
$F(x) = 9x - \frac{5}{2}x^2 - \frac{39}{2}$.

Ответ: $F(x) = 9x - \frac{5}{2}x^2 - \frac{39}{2}$.