Номер 95, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$, касательной, проведённой к данной параболе в точке с абсциссой $x_0 = 2$, и осью ординат.

Для нахождения площади фигуры, сначала необходимо составить уравнение касательной к параболе $y = 4 - x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Заданная функция $f(x) = 4 - x^2$. Найдем ее значение в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
$f'(2) = -2 \cdot 2 = -4$.

Подставим найденные значения $f(2)=0$ и $f'(2)=-4$ в уравнение касательной:
$y = 0 + (-4)(x - 2)$
$y = -4x + 8$.

Теперь у нас есть все линии, ограничивающие фигуру:

• Парабола: $y_1 = 4 - x^2$
• Касательная: $y_2 = -4x + 8$
• Ось ординат: $x = 0$

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху, и функции, ограничивающей ее снизу. Пределы интегрирования определяются осью ординат ($x=0$) и абсциссой точки касания ($x=2$).

Чтобы определить, какая из функций ($y_1$ или $y_2$) является верхней границей на интервале $[0, 2]$, сравним их значения в любой точке этого интервала, например, при $x=1$:
$y_1(1) = 4 - 1^2 = 3$
$y_2(1) = -4(1) + 8 = 4$
Так как $y_2(1) > y_1(1)$, на всем интервале $[0, 2]$ касательная $y = -4x + 8$ проходит выше параболы $y = 4 - x^2$.

Площадь $S$ фигуры равна:
$S = \int_{0}^{2} (y_2 - y_1) dx = \int_{0}^{2} ((-4x + 8) - (4 - x^2)) dx$.

Упростим подынтегральное выражение:
$(-4x + 8) - (4 - x^2) = -4x + 8 - 4 + x^2 = x^2 - 4x + 4$.

Вычислим интеграл:
$S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4 \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2}$.

Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 \right)$
$S = \left( \frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 8 \right) - 0 = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.