Номер 96, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x + 4$ и $y = |x^2 + 4x|$.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = x + 4$ и $y = |x^2 + 4x|$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти точки пересечения графиков.
2. Определить, какой из графиков находится выше на каждом из интервалов, образованных точками пересечения.
3. Вычислить площадь как сумму определенных интегралов от разности функций.

1. Нахождение точек пересечения

Приравняем функции друг к другу: $x + 4 = |x^2 + 4x|$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Выражение $x^2 + 4x$ неотрицательно, когда $x(x+4) \ge 0$, то есть при $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$, и отрицательно при $x \in (-4, 0)$.

Случай 1: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$
В этом случае $|x^2 + 4x| = x^2 + 4x$.
$x + 4 = x^2 + 4x$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют условиям: $1 \in [0, \infty)$ и $-4 \in (-\infty, -4]$.

Случай 2: $x \in (-4, 0)$
В этом случае $|x^2 + 4x| = -(x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.
$x + 4 = -x^2 - 4x$
$x^2 + 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_3 = -1$ и $x_4 = -4$.
Условию $x \in (-4, 0)$ удовлетворяет только корень $x_3 = -1$.

Таким образом, графики функций пересекаются в трех точках с абсциссами $x = -4$, $x = -1$ и $x = 1$. Эти точки разбивают область интегрирования на два интервала: $[-4, -1]$ и $[-1, 1]$.

2. Вычисление площади

Площадь $S$ искомой фигуры равна сумме площадей на этих двух интервалах.
На интервале $[-4, -1]$ определим, какая функция больше. Возьмем тестовую точку $x = -2$:
$y_{линия} = -2 + 4 = 2$
$y_{модуль} = |(-2)^2 + 4(-2)| = |4-8| = 4$
Поскольку $4 > 2$, на интервале $[-4, -1]$ график $y = |x^2 + 4x|$ (а именно $y = -x^2 - 4x$) лежит выше графика $y = x+4$.
Площадь на этом участке $S_1$ равна:
$S_1 = \int_{-4}^{-1} ((-x^2 - 4x) - (x + 4)) dx = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 5x - 4) dx$

На интервале $[-1, 1]$ определим, какая функция больше. Возьмем тестовую точку $x=0$:
$y_{линия} = 0 + 4 = 4$
$y_{модуль} = |0^2 + 4(0)| = 0$
Поскольку $4 > 0$, на интервале $[-1, 1]$ график $y = x+4$ лежит выше графика $y = |x^2 + 4x|$.
Площадь на этом участке $S_2$ нужно разбить на два интеграла, так как определение функции $y = |x^2 + 4x|$ меняется в точке $x=0$:
$S_2 = \int_{-1}^{1} ((x+4) - |x^2+4x|) dx = \int_{-1}^{0} ((x+4) - (-x^2-4x)) dx + \int_{0}^{1} ((x+4) - (x^2+4x)) dx$
$S_2 = \int_{-1}^{0} (x^2 + 5x + 4) dx + \int_{0}^{1} (-x^2 - 3x + 4) dx$

Теперь вычислим интегралы.

$S_1 = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 5x - 4) dx = \left. \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{-4}^{-1}$
$= \left(\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 \right) - \left(\frac{64}{3} - \frac{5 \cdot 16}{2} + 16 \right) = \left(\frac{2-15+24}{6} \right) - \left(\frac{64}{3} - 40 + 16 \right)$
$= \frac{11}{6} - \left(\frac{64 - 72}{3} \right) = \frac{11}{6} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{11}{6} + \frac{16}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

Вычислим части, составляющие $S_2$:
$\int_{-1}^{0} (x^2 + 5x + 4) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x \right) \right|_{-1}^{0}$
$= 0 - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right) = -\left(\frac{-2+15-24}{6}\right) = -\left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{11}{6}$.

$\int_{0}^{1} (-x^2 - 3x + 4) dx = \left. \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x \right) \right|_{0}^{1}$
$= \left(-\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4\right) - 0 = \frac{-2-9+24}{6} = \frac{13}{6}$.

$S_2 = \frac{11}{6} + \frac{13}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Общая площадь $S$ равна сумме $S_1$ и $S_2$:
$S = S_1 + S_2 = \frac{9}{2} + 4 = \frac{9+8}{2} = \frac{17}{2}$.

Ответ: $\frac{17}{2}$.