Номер 107, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. При каких натуральных значениях $n$ выполняется неравенство:

1) $4^n > 3n + 1$;

2) $2^n > 5n - 6$?

1) $4^n > 3n + 1$

Решим это неравенство для натуральных чисел $n$ (т.е. $n \ge 1$). Для решения таких неравенств удобно проверить несколько первых значений $n$, а затем доказать общее утверждение методом математической индукции.

Проверим первые несколько натуральных значений $n$:

• При $n=1$: $4^1 > 3(1) + 1 \Rightarrow 4 > 4$. Неравенство неверно.
• При $n=2$: $4^2 > 3(2) + 1 \Rightarrow 16 > 7$. Неравенство верно.
• При $n=3$: $4^3 > 3(3) + 1 \Rightarrow 64 > 10$. Неравенство верно.

Можно предположить, что неравенство выполняется для всех натуральных $n \ge 2$. Докажем это методом математической индукции.

База индукции:

При $n=2$ неравенство $16 > 7$ верно, что мы уже проверили.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $k \ge 2$, то есть $4^k > 3k + 1$.

Докажем, что из этого следует верность неравенства для $n = k+1$, то есть $4^{k+1} > 3(k+1) + 1$.

Преобразуем левую часть неравенства для $n=k+1$:

$4^{k+1} = 4 \cdot 4^k$

Используя предположение индукции $4^k > 3k + 1$, получаем:

$4 \cdot 4^k > 4 \cdot (3k + 1) = 12k + 4$

Теперь нам нужно доказать, что $12k + 4 > 3(k+1) + 1$. Правая часть этого неравенства равна $3k + 3 + 1 = 3k + 4$.

Сравним $12k + 4$ и $3k + 4$. Так как $k \ge 2$, то $12k > 3k$, следовательно $12k + 4 > 3k + 4$.

Таким образом, мы получили цепочку неравенств:

$4^{k+1} > 12k + 4 > 3k + 4 = 3(k+1) + 1$

Значит, $4^{k+1} > 3(k+1) + 1$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, неравенство выполняется для всех натуральных $n \ge 2$.

Ответ: $n \ge 2$, где $n$ — натуральное число (или $n \in \{2, 3, 4, ...\}$).

2) $2^n > 5n - 6$

Решим это неравенство для натуральных чисел $n$ ($n \ge 1$) путем проверки нескольких первых значений и последующего доказательства по индукции.

Проверим первые несколько натуральных значений $n$:

• При $n=1$: $2^1 > 5(1) - 6 \Rightarrow 2 > -1$. Неравенство верно.
• При $n=2$: $2^2 > 5(2) - 6 \Rightarrow 4 > 4$. Неравенство неверно.
• При $n=3$: $2^3 > 5(3) - 6 \Rightarrow 8 > 9$. Неравенство неверно.
• При $n=4$: $2^4 > 5(4) - 6 \Rightarrow 16 > 14$. Неравенство верно.
• При $n=5$: $2^5 > 5(5) - 6 \Rightarrow 32 > 19$. Неравенство верно.

Таким образом, неравенство выполняется при $n=1$ и, предположительно, при всех $n \ge 4$. Докажем вторую часть ($n \ge 4$) методом математической индукции.

База индукции:

При $n=4$ неравенство $16 > 14$ верно, что мы уже проверили.

Шаг индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального $k \ge 4$, то есть $2^k > 5k - 6$.

Докажем, что из этого следует верность неравенства для $n = k+1$, то есть $2^{k+1} > 5(k+1) - 6$.

Преобразуем левую часть неравенства для $n=k+1$:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$

Используя предположение индукции $2^k > 5k - 6$, получаем:

$2 \cdot 2^k > 2 \cdot (5k - 6) = 10k - 12$

Теперь нам нужно доказать, что $10k - 12 > 5(k+1) - 6$. Правая часть этого неравенства равна $5k + 5 - 6 = 5k - 1$.

Сравним $10k - 12$ и $5k - 1$. Рассмотрим их разность: $(10k - 12) - (5k - 1) = 5k - 11$.

Так как по условию индукции $k \ge 4$, то $5k \ge 20$, и $5k - 11 \ge 20 - 11 = 9 > 0$.

Следовательно, $10k - 12 > 5k - 1$.

Мы получили цепочку неравенств:

$2^{k+1} > 10k - 12 > 5k - 1 = 5(k+1) - 6$

Значит, $2^{k+1} > 5(k+1) - 6$.

Шаг индукции доказан. Следовательно, неравенство выполняется для всех натуральных $n \ge 4$.

Объединяя результаты, получаем, что неравенство верно для $n=1$ и для всех натуральных $n \ge 4$.

Ответ: $n=1$ и $n \ge 4$, где $n$ — натуральное число (или $n \in \{1\} \cup \{4, 5, 6, ...\}$).