Номер 111, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $A^2_{x+3} = 42;$

2) $A^3_{x+5} = 35(x+4);$

3) $A^{x+3}_{x+6} = 10P_{x+3}$

1) $A_{x+3}^2 = 42$

По определению числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\dots(n-k+1)$.

Применим эту формулу к левой части уравнения:

$A_{x+3}^2 = (x+3)((x+3)-1) = (x+3)(x+2)$.

Уравнение принимает вид: $(x+3)(x+2) = 42$.

По условию, $x$ — натуральное число, то есть $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Для существования $A_{x+3}^2$ необходимо, чтобы $x+3 \ge 2$, то есть $x \ge -1$. Условие натуральности $x$ ($x \ge 1$) является достаточным.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 3x + 6 = 42$

$x^2 + 5x - 36 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 13}{2}$.

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$;

$x_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.

Так как по условию $x$ должно быть натуральным числом, корень $x_2 = -9$ не подходит. Единственным решением является $x=4$.

Ответ: $4$.

2) $A_{x+5}^3 = 35(x+4)$

Используем формулу для числа размещений $A_n^k = n(n-1)\dots(n-k+1)$:

$A_{x+5}^3 = (x+5)((x+5)-1)((x+5)-2) = (x+5)(x+4)(x+3)$.

Уравнение принимает вид: $(x+5)(x+4)(x+3) = 35(x+4)$.

Так как $x$ — натуральное число ($x \ge 1$), то $x+4 > 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(x+4)$:

$(x+5)(x+3) = 35$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x + 5x + 15 = 35$

$x^2 + 8x + 15 - 35 = 0$

$x^2 + 8x - 20 = 0$

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 12}{2}$.

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$;

$x_2 = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Поскольку $x$ должно быть натуральным числом, корень $x_2 = -10$ не является решением. Единственное подходящее решение — $x=2$.

Ответ: $2$.

3) $A_{x+6}^{x+3} = 10P_{x+3}$

Используем определения числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_m = m!$.

Левая часть уравнения: $A_{x+6}^{x+3} = \frac{(x+6)!}{((x+6)-(x+3))!} = \frac{(x+6)!}{3!} = \frac{(x+6)!}{6}$.

Правая часть уравнения: $10P_{x+3} = 10(x+3)!$.

Приравнивая выражения, получаем уравнение:

$\frac{(x+6)!}{6} = 10(x+3)!$

Домножим обе части на 6:

$(x+6)! = 60(x+3)!$

Представим $(x+6)!$ как $(x+6)(x+5)(x+4)(x+3)!$:

$(x+6)(x+5)(x+4)(x+3)! = 60(x+3)!$

Поскольку $x$ — натуральное число, $x+3 \ge 4$, и $(x+3)! \ne 0$. Разделим обе части на $(x+3)!$:

$(x+6)(x+5)(x+4) = 60$.

Мы ищем решение в натуральных числах, то есть $x \ge 1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x+6)(x+5)(x+4)$. При $x \ge 1$ все множители положительны и растут с ростом $x$, следовательно, функция $f(x)$ является возрастающей на множестве натуральных чисел.

Найдем наименьшее значение функции $f(x)$ на множестве натуральных чисел, подставив $x=1$:

$f(1) = (1+6)(1+5)(1+4) = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$.

Минимальное значение левой части уравнения для натурального $x$ равно 210. Так как $210 > 60$, и функция $f(x)$ возрастает, левая часть уравнения никогда не будет равна 60 ни при каком натуральном $x$.

Следовательно, уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: нет решений.