Номер 116, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Сколько четырёхзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 3, 4, 5, 7, 8, так, чтобы цифры в записи числа не повторялись?

Для решения этой задачи нам нужно определить количество способов выбрать и расставить 4 цифры из 6 данных без повторений. Данный тип задач решается с помощью комбинаторики, а именно, с использованием размещений без повторений.

У нас есть 6 цифр для составления числа: {2, 3, 4, 5, 7, 8}. Число должно быть четырёхзначным, и цифры в нём не должны повторяться.

Рассмотрим процесс выбора цифр для каждой из четырёх позиций в числе:

• На место тысяч (первая цифра) можно поставить любую из 6 данных цифр. Таким образом, есть 6 вариантов.
• После выбора первой цифры, на место сотен (вторая цифра) остаётся 5 вариантов, так как одна цифра уже использована.
• На место десятков (третья цифра) остаётся 4 неиспользованные цифры, то есть 4 варианта.
• На место единиц (четвёртая цифра) остаётся 3 неиспользованные цифры, то есть 3 варианта.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

Эту же задачу можно решить с помощью формулы для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество элементов (у нас 6 цифр), а $k$ — количество элементов, которые мы выбираем (у нас 4 цифры в числе).

$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

Таким образом, можно составить 360 различных четырёхзначных чисел.

Ответ: 360