Номер 119, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. В филармонии есть 7 пианистов и 4 скрипача. Сколько существует способов составить концертную программу из пяти номеров, если начинать и завершать концерт должны скрипачи, а в каждом номере выступает только один музыкант?

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики, в частности, размещения без повторений и правило произведения.

Концертная программа состоит из пяти номеров. Обозначим их как 5 последовательных позиций, которые нужно заполнить исполнителями.

1. Выбор исполнителя для первой позиции.

По условию, концерт должен начинать скрипач. В филармонии 4 скрипача, следовательно, на первую позицию есть 4 варианта выбора.

2. Выбор исполнителя для пятой позиции.

Концерт должен завершать также скрипач. Поскольку один скрипач уже выбран на первую позицию (и один и тот же музыкант не может выступать дважды), для пятой позиции остаются $4 - 1 = 3$ скрипача. Таким образом, есть 3 варианта выбора.

Количество способов выбрать и расставить двух разных скрипачей на первую и последнюю позиции — это число размещений из 4 по 2:

$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 4 \times 3 = 12$ способов.

3. Выбор исполнителей для второй, третьей и четвертой позиций.

Всего в филармонии $7$ пианистов и $4$ скрипача, то есть $7 + 4 = 11$ музыкантов. Два места в программе уже заняты двумя скрипачами. Следовательно, для заполнения оставшихся трех позиций в середине концерта у нас есть $11 - 2 = 9$ музыкантов (это 7 пианистов и 2 оставшихся скрипача).

На вторую позицию можно выбрать любого из 9 оставшихся музыкантов.

После выбора исполнителя для второй позиции, на третью позицию останется $9 - 1 = 8$ музыкантов.

Соответственно, на четвертую позицию останется $8 - 1 = 7$ музыкантов.

Количество способов выбрать и расставить трех музыкантов на средние позиции — это число размещений из 9 по 3:

$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$ способа.

4. Общее количество способов.

Чтобы найти общее количество способов составить всю программу, нужно перемножить количество вариантов для всех этапов (согласно правилу произведения в комбинаторике):

Общее число способов = (способы для первой и пятой позиций) $\times$ (способы для средних трех позиций).

$N = A_4^2 \times A_9^3 = 12 \times 504 = 6048$.

Таким образом, существует 6048 различных способов составить концертную программу.

Ответ: 6048