Номер 124, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. На окружности отметили 26 точек. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: пятнадцатиугольников или одиннадцатиугольников?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо сравнить количество способов, которыми можно выбрать вершины для пятнадцатиугольников и одиннадцатиугольников из 26 отмеченных точек. Поскольку порядок выбора вершин не влияет на форму многоугольника, мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

1. Количество пятнадцатиугольников
Для построения пятнадцатиугольника нужно выбрать 15 вершин из 26 доступных точек. Здесь $n=26$ и $k=15$.
Число возможных пятнадцатиугольников равно:$C_{26}^{15} = \frac{26!}{15!(26-15)!} = \frac{26!}{15!11!}$

2. Количество одиннадцатиугольников
Для построения одиннадцатиугольника нужно выбрать 11 вершин из 26 доступных точек. Здесь $n=26$ и $k=11$.
Число возможных одиннадцатиугольников равно:$C_{26}^{11} = \frac{26!}{11!(26-11)!} = \frac{26!}{11!15!}$

Сравнение и вывод
Сравнивая полученные выражения для числа пятнадцатиугольников и одиннадцатиугольников, мы видим, что они равны:$\frac{26!}{15!11!} = \frac{26!}{11!15!}$Следовательно, $C_{26}^{15} = C_{26}^{11}$.

Это равенство объясняется свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$. В данном случае, $C_{26}^{15} = C_{26}^{26-15} = C_{26}^{11}$.
Интуитивно это означает, что выбор 15 точек для построения многоугольника эквивалентен выбору 11 точек, которые не будут его вершинами. Поскольку каждому набору из 15 точек соответствует уникальный набор из 11 оставшихся точек, количество способов сделать такой выбор в обоих случаях одинаково.

Ответ: Количество пятнадцатиугольников и одиннадцатиугольников с вершинами в отмеченных точках одинаково.