Номер 131, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 19 пять чисел так, чтобы среди выбранных было не менее двух чётных чисел?

Для решения этой комбинаторной задачи сначала определим состав исходного множества чисел. В диапазоне натуральных чисел от 1 до 19 содержится 19 чисел. Разобьем их на две группы:

• Чётные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Всего 9 чётных чисел.
• Нечётные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Всего 10 нечётных чисел.

Нам необходимо выбрать 5 чисел из этих 19. Условие задачи — «не менее двух чётных чисел». Это означает, что в нашей выборке из 5 чисел может быть 2, 3, 4 или 5 чётных чисел. Поскольку порядок выбора чисел не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1. Прямой подсчёт

Этот способ заключается в том, чтобы рассмотреть все возможные случаи, удовлетворяющие условию, и сложить полученные количества способов.

1. Выбрано 2 чётных и 3 нечётных числа.
Число способов выбрать 2 чётных числа из 9: $C_9^2 = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$.
Число способов выбрать 3 нечётных числа из 10: $C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.
Общее число способов для этого случая (по правилу произведения): $C_9^2 \cdot C_{10}^3 = 36 \cdot 120 = 4320$.

2. Выбрано 3 чётных и 2 нечётных числа.
Число способов выбрать 3 чётных из 9: $C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$.
Число способов выбрать 2 нечётных из 10: $C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.
Общее число способов: $C_9^3 \cdot C_{10}^2 = 84 \cdot 45 = 3780$.

3. Выбрано 4 чётных и 1 нечётное число.
Число способов выбрать 4 чётных из 9: $C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.
Число способов выбрать 1 нечётное из 10: $C_{10}^1 = 10$.
Общее число способов: $C_9^4 \cdot C_{10}^1 = 126 \cdot 10 = 1260$.

4. Выбрано 5 чётных и 0 нечётных чисел.
Число способов выбрать 5 чётных из 9: $C_9^5 = C_9^4 = 126$.
Число способов выбрать 0 нечётных из 10: $C_{10}^0 = 1$.
Общее число способов: $C_9^5 \cdot C_{10}^0 = 126 \cdot 1 = 126$.

Теперь сложим количество способов для всех рассмотренных случаев, чтобы найти итоговый результат:
$4320 + 3780 + 1260 + 126 = 9486$.

Способ 2. Метод исключения (через дополнение)

Этот метод часто бывает проще. Найдём общее число способов выбрать 5 любых чисел из 19, а затем вычтем из него число «неблагоприятных» способов. Неблагоприятные способы — это те, где чётных чисел меньше двух, то есть 0 или 1.

1. Общее число способов.
Число способов выбрать 5 чисел из 19:
$C_{19}^5 = \frac{19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11628$.

2. Число неблагоприятных способов.
а) 0 чётных и 5 нечётных чисел. Все 5 чисел выбираются из 10 нечётных. Число способов: $C_9^0 \cdot C_{10}^5 = 1 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252$.
б) 1 чётное и 4 нечётных числа. Выбираем 1 чётное из 9 и 4 нечётных из 10. Число способов: $C_9^1 \cdot C_{10}^4 = 9 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 210 = 1890$.
Общее число неблагоприятных способов: $252 + 1890 = 2142$.

3. Итоговый результат.
Вычитаем из общего числа способов число неблагоприятных:
$11628 - 2142 = 9486$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 9486