Номер 128, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. На прямой отметили 16 точек, а на параллельной ей прямой — 10 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы построить треугольник, необходимо выбрать три вершины так, чтобы они не лежали на одной прямой. В данной задаче точки расположены на двух параллельных прямых. Обозначим первую прямую, на которой 16 точек, как L1, а вторую прямую, на которой 10 точек, — как L2.

Поскольку все точки на одной прямой коллинеарны, три вершины треугольника не могут быть выбраны с одной и той же прямой. Следовательно, существуют два возможных случая для выбора вершин треугольника:

Случай 1: Две вершины на прямой L1 и одна вершина на прямой L2.

Количество способов выбрать 2 вершины из 16 точек на прямой L1 вычисляется с помощью формулы сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 2 точки из 16: $C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 120$.

Количество способов выбрать 1 вершину из 10 точек на прямой L2: $C_{10}^1 = 10$.

Общее число треугольников для этого случая, согласно комбинаторному правилу произведения, равно:
$N_1 = C_{16}^2 \cdot C_{10}^1 = 120 \cdot 10 = 1200$.

Случай 2: Одна вершина на прямой L1 и две вершины на прямой L2.

Количество способов выбрать 1 вершину из 16 точек на прямой L1: $C_{16}^1 = 16$.

Количество способов выбрать 2 вершины из 10 точек на прямой L2:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

Общее число треугольников для этого случая равно:
$N_2 = C_{16}^1 \cdot C_{10}^2 = 16 \cdot 45 = 720$.

Итоговое количество треугольников.

Чтобы найти общее количество всех возможных треугольников, нужно сложить количество треугольников, полученное в первом и втором случаях, согласно комбинаторному правилу суммы:

$N = N_1 + N_2 = 1200 + 720 = 1920$.

Ответ: 1920