Номер 133, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Раскройте скобки в выражении:

1) $(m-n)^6;$

2) $(2n-1)^7;$

3) $(x^2+1)^5;$

4) $\left(1-\frac{1}{n}\right)^4.$

Для раскрытия скобок в данных выражениях используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^{n-1} ab^{n-1} + C_n^n b^n$,

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты, которые также можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) Раскроем скобки в выражении $(m-n)^6$.

Здесь $a=m$, $b=-n$ и $n=6$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.

$(m-n)^6 = 1 \cdot m^6 + 6 \cdot m^5(-n)^1 + 15 \cdot m^4(-n)^2 + 20 \cdot m^3(-n)^3 + 15 \cdot m^2(-n)^4 + 6 \cdot m^1(-n)^5 + 1 \cdot (-n)^6$

$= m^6 - 6m^5n + 15m^4n^2 - 20m^3n^3 + 15m^2n^4 - 6mn^5 + n^6$

Ответ: $m^6 - 6m^5n + 15m^4n^2 - 20m^3n^3 + 15m^2n^4 - 6mn^5 + n^6$.

2) Раскроем скобки в выражении $(2n-1)^7$.

Здесь $a=2n$, $b=-1$ и $n=7$. Биномиальные коэффициенты для $n=7$ равны: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

$(2n-1)^7 = 1 \cdot (2n)^7 + 7 \cdot (2n)^6(-1)^1 + 21 \cdot (2n)^5(-1)^2 + 35 \cdot (2n)^4(-1)^3 + 35 \cdot (2n)^3(-1)^4 + 21 \cdot (2n)^2(-1)^5 + 7 \cdot (2n)^1(-1)^6 + 1 \cdot (-1)^7$

$= 1 \cdot 128n^7 - 7 \cdot 64n^6 + 21 \cdot 32n^5 - 35 \cdot 16n^4 + 35 \cdot 8n^3 - 21 \cdot 4n^2 + 7 \cdot 2n - 1$

$= 128n^7 - 448n^6 + 672n^5 - 560n^4 + 280n^3 - 84n^2 + 14n - 1$

Ответ: $128n^7 - 448n^6 + 672n^5 - 560n^4 + 280n^3 - 84n^2 + 14n - 1$.

3) Раскроем скобки в выражении $(x^2+1)^5$.

Здесь $a=x^2$, $b=1$ и $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

$(x^2+1)^5 = 1 \cdot (x^2)^5 + 5 \cdot (x^2)^4(1)^1 + 10 \cdot (x^2)^3(1)^2 + 10 \cdot (x^2)^2(1)^3 + 5 \cdot (x^2)^1(1)^4 + 1 \cdot (1)^5$

$= x^{10} + 5x^8 + 10x^6 + 10x^4 + 5x^2 + 1$

Ответ: $x^{10} + 5x^8 + 10x^6 + 10x^4 + 5x^2 + 1$.

4) Раскроем скобки в выражении $(1-\frac{1}{n})^4$.

Здесь $a=1$, $b=-\frac{1}{n}$ и $n=4$. Биномиальные коэффициенты для $n=4$ равны: 1, 4, 6, 4, 1.

$(1-\frac{1}{n})^4 = 1 \cdot (1)^4 + 4 \cdot (1)^3(-\frac{1}{n})^1 + 6 \cdot (1)^2(-\frac{1}{n})^2 + 4 \cdot (1)^1(-\frac{1}{n})^3 + 1 \cdot (-\frac{1}{n})^4$

$= 1 - 4 \cdot \frac{1}{n} + 6 \cdot \frac{1}{n^2} - 4 \cdot \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n^4}$

$= 1 - \frac{4}{n} + \frac{6}{n^2} - \frac{4}{n^3} + \frac{1}{n^4}$

Ответ: $1 - \frac{4}{n} + \frac{6}{n^2} - \frac{4}{n^3} + \frac{1}{n^4}$.