gdz.top
Номер 134, страница 92 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 3. Бином Ньютона - номер 134, страница 92.
№133
№134 (с. 92)
Условие. №134 (с. 92)
134. Вычислите сумму $4^n + C_n^1 4^{n-1} + C_n^2 4^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 4 + 1.$
Решение. №134 (с. 92)
Данная сумма представляет собой выражение:
$S = 4^n + C_n^1 4^{n-1} + C_n^2 4^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 4 + 1$
Это выражение очень похоже на разложение бинома Ньютона, формула которого выглядит следующим образом:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$
Для того чтобы привести исходную сумму к виду разложения бинома, преобразуем ее, используя свойства биномиальных коэффициентов и степеней:
1. Первый член $4^n$ можно записать как $C_n^0 4^n$, так как $C_n^0 = 1$.
2. Последний член $1$ можно записать как $C_n^n 4^0$, так как $C_n^n = 1$ и $4^0 = 1$.
Таким образом, исходную сумму можно переписать в виде:
$S = C_n^0 4^n + C_n^1 4^{n-1} + C_n^2 4^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 4^1 + C_n^n 4^0$
Теперь сравним это выражение с формулой бинома Ньютона. Мы видим, что оно является разложением для $(a+b)^n$, если выбрать $a=4$.
Чтобы найти $b$, заметим, что в каждом члене нашей суммы как бы отсутствует множитель $b^k$. Это возможно, если $b=1$, так как $1^k = 1$ для любого $k$.
Подставим $b=1$ в нашу сумму, чтобы увидеть полное соответствие:
$S = C_n^0 4^n \cdot 1^0 + C_n^1 4^{n-1} \cdot 1^1 + C_n^2 4^{n-2} \cdot 1^2 + \dots + C_n^{n-1} 4^1 \cdot 1^{n-1} + C_n^n 4^0 \cdot 1^n$
Это в точности разложение $(4+1)^n$.
Следовательно, вычисляем значение суммы:
$S = (4+1)^n = 5^n$
Ответ: $5^n$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 134 расположенного на странице 92 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №134 (с. 92), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.