Номер 138, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Найдите сумму чисел, стоящих на чётных местах в 32-й строке треугольника Паскаля.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биномиальных коэффициентов, которые образуют строки треугольника Паскаля. В стандартной нумерации строк треугольника Паскаля отсчёт начинается с нулевой строки (соответствующей $n=0$). Таким образом, 32-я строка соответствует степени $n=31$ в биноме Ньютона. Элементы этой строки — это биномиальные коэффициенты $C_{31}^k$ для $k$ от 0 до 31: $C_{31}^0, C_{31}^1, C_{31}^2, \dots, C_{31}^{31}$.

Всего в 32-й строке 32 элемента (поскольку $k$ принимает 32 значения от 0 до 31). Места этих элементов нумеруются с 1 по 32. Нам необходимо найти сумму чисел, стоящих на чётных местах: 2-м, 4-м, 6-м и так далее, до 32-го. Элемент на 1-м месте — это $C_{31}^0$, на 2-м месте — $C_{31}^1$, на 3-м месте — $C_{31}^2$, и в общем случае, на $m$-м месте стоит элемент $C_{31}^{m-1}$.

Следовательно, искомая сумма $S$ — это сумма коэффициентов с нечётными нижними индексами: $S = C_{31}^1 + C_{31}^3 + C_{31}^5 + \dots + C_{31}^{31}$.

Для нахождения этой суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$.

1. Рассмотрим разложение для $(1+1)^{31}$. Сумма всех коэффициентов в 32-й строке равна:
$C_{31}^0 + C_{31}^1 + C_{31}^2 + C_{31}^3 + \dots + C_{31}^{31} = (1+1)^{31} = 2^{31}$.

2. Рассмотрим разложение для $(1-1)^{31}$. Знакопеременная сумма коэффициентов равна:
$C_{31}^0 - C_{31}^1 + C_{31}^2 - C_{31}^3 + \dots - C_{31}^{31} = (1-1)^{31} = 0$.

Обозначим искомую сумму (сумму на чётных местах) как $S_{чётн} = C_{31}^1 + C_{31}^3 + \dots + C_{31}^{31}$. Обозначим сумму на нечётных местах как $S_{нечётн} = C_{31}^0 + C_{31}^2 + \dots + C_{31}^{30}$.

Тогда наши два уравнения можно представить в виде системы:
1) $S_{нечётн} + S_{чётн} = 2^{31}$
2) $S_{нечётн} - S_{чётн} = 0$

Из второго уравнения получаем, что $S_{нечётн} = S_{чётн}$.

Подставим это равенство в первое уравнение:
$S_{чётн} + S_{чётн} = 2^{31}$
$2 \cdot S_{чётн} = 2^{31}$

Отсюда находим искомую сумму:
$S_{чётн} = \frac{2^{31}}{2} = 2^{30}$.

Ответ: $2^{30}$.