Номер 121, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Решите в натуральных числах уравнение:

1) $C_x^2 = 105;$

2) $C_{x+2}^3 = 22(x+2);$

3) $4C_{x+1}^2 - 3A_x^2 = x.$

1) Решим уравнение $C_x^2=105$ в натуральных числах.
Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ имеет вид $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Для данного уравнения $n=x$, $k=2$.
$C_x^2 = \frac{x!}{2!(x-2)!} = \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot (x-2)!} = \frac{x(x-1)}{2}$.
Для того чтобы сочетание было определено, необходимо выполнение условия $x \ge 2$, и по условию задачи $x$ должен быть натуральным числом.
Подставим выражение для $C_x^2$ в уравнение:
$\frac{x(x-1)}{2} = 105$
$x(x-1) = 210$
$x^2 - x - 210 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841$.
$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 29}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 29}{2} = \frac{-28}{2} = -14$.
Корень $x_1 = 15$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Корень $x_2 = -14$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.
Ответ: 15.

2) Решим уравнение $C_{x+2}^3 = 22(x+2)$ в натуральных числах.
Используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n=x+2$, $k=3$.
$C_{x+2}^3 = \frac{(x+2)!}{3!((x+2)-3)!} = \frac{(x+2)!}{6(x-1)!} = \frac{(x+2)(x+1)x(x-1)!}{6(x-1)!} = \frac{x(x+1)(x+2)}{6}$.
Выражение имеет смысл при $x+2 \ge 3$, то есть $x \ge 1$. Поскольку $x$ - натуральное число, это условие выполняется.
Подставим выражение в уравнение:
$\frac{x(x+1)(x+2)}{6} = 22(x+2)$.
Так как $x$ - натуральное число, $x+2 \neq 0$, поэтому можно разделить обе части уравнения на $(x+2)$:
$\frac{x(x+1)}{6} = 22$
$x(x+1) = 132$
$x^2 + x - 132 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$.
$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 23}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.
Корень $x_1 = 11$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 1$.
Корень $x_2 = -12$ не является натуральным числом.
Ответ: 11.

3) Решим уравнение $4C_{x+1}^2 - 3A_x^2 = x$ в натуральных числах.
Используем формулы для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
$C_{x+1}^2 = \frac{(x+1)!}{2!((x+1)-2)!} = \frac{(x+1)!}{2(x-1)!} = \frac{(x+1)x}{2}$. Это выражение определено для $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$.
$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$. Это выражение определено для $x \ge 2$.
Область допустимых значений для $x$ определяется как $x \ge 2$ и $x$ - натуральное число.
Подставим выражения в уравнение:
$4 \cdot \frac{x(x+1)}{2} - 3x(x-1) = x$
$2x(x+1) - 3x(x-1) = x$
$2x^2 + 2x - 3x^2 + 3x = x$
$-x^2 + 5x = x$
$-x^2 + 4x = 0$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Корень $x_2 = 4$ является натуральным числом и удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Ответ: 4.