Номер 118, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых все цифры различны, причём четыре первые цифры нечётные, а две последние — чётные?

Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать и расставить цифры в шестизначном числе согласно заданным условиям. Мы можем разбить задачу на два независимых этапа: расстановка нечётных цифр и расстановка чётных цифр.

1. Расстановка первых четырёх нечётных цифр.

Существует 5 нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}.

Нам нужно выбрать 4 из этих 5 цифр и разместить их на первых четырёх позициях. Так как все цифры в числе должны быть различны, и порядок их важен, мы используем формулу для числа размещений без повторений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Количество способов выбрать и расставить 4 нечётные цифры из 5 имеющихся:

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.

Поскольку первая цифра числа нечётная, она заведомо не равна нулю, что соответствует условию для шестизначных чисел.

2. Расстановка последних двух чётных цифр.

Существует 5 чётных цифр: {0, 2, 4, 6, 8}.

Нам нужно выбрать 2 из этих 5 цифр и разместить их на двух последних позициях (пятой и шестой). Количество способов для этого также определяется числом размещений:

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.

3. Общее количество чисел.

Множества нечётных и чётных цифр не пересекаются, поэтому любая комбинация из 4 различных нечётных и 2 различных чётных цифр будет состоять из 6 различных цифр.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество таких шестизначных чисел равно произведению количества способов для каждого этапа:

Общее количество = (число способов для первых четырёх цифр) $\times$ (число способов для последних двух цифр).

Общее количество = $A_5^4 \times A_5^2 = 120 \times 20 = 2400$.

Ответ: 2400