Номер 120, страница 91 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Вычислите:

1) $C_8^5;$

2) $C_{21}^1;$

3) $C_7^3 + C_7^0.$

1) $C_8^5$

Для вычисления числа сочетаний из n по k используется формула: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n=8$ и $k=5$.

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся свойством сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3$

Теперь применим основную формулу:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{ (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$

Ответ: 56

2) $C_{21}^1$

Используем формулу $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ с $n=21$ и $k=1$.

$C_{21}^1 = \frac{21!}{1!(21-1)!} = \frac{21!}{1!20!} = \frac{21 \cdot 20!}{1 \cdot 20!} = 21$

Также можно использовать общее свойство, что число сочетаний из n по 1 всегда равно n, то есть $C_n^1 = n$. Это означает, что существует ровно n способов выбрать один элемент из n элементов.

Ответ: 21

3) $C_7^3 + C_7^0$

Для решения этого примера необходимо вычислить каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить результаты.

Вычислим первое слагаемое $C_7^3$, где $n=7$ и $k=3$:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 7 \cdot 5 = 35$

Вычислим второе слагаемое $C_7^0$, где $n=7$ и $k=0$:

$C_7^0 = \frac{7!}{0!(7-0)!} = \frac{7!}{0!7!}$

По определению, факториал нуля $0! = 1$. Поэтому:

$C_7^0 = \frac{7!}{1 \cdot 7!} = 1$

Это также следует из общего свойства $C_n^0 = 1$, которое означает, что существует только один способ ничего не выбрать из множества элементов.

Теперь сложим полученные значения:

$C_7^3 + C_7^0 = 35 + 1 = 36$

Ответ: 36