Страница 96 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. В одном ящике лежат 7 красных, 6 зелёных и 9 жёлтых шаров, а в другом — 5 красных, 2 зелёных и 5 жёлтых шаров. Наугад из каждого ящика берут по одному шару. Какова вероятность того, что взятые шары будут одного цвета?

Для решения этой задачи необходимо найти вероятность того, что извлеченные шары будут либо оба красные, либо оба зелёные, либо оба жёлтые. Поскольку эти три события являются несовместными, итоговая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

1. Найдём общее количество шаров в каждом ящике.

В первом ящике находится $N_1 = 7 + 6 + 9 = 22$ шара.

Во втором ящике находится $N_2 = 5 + 2 + 5 = 12$ шаров.

2. Вычислим вероятность того, что оба извлеченных шара будут красными.

Вероятность вытащить красный шар из первого ящика: $P(К_1) = \frac{7}{22}$.

Вероятность вытащить красный шар из второго ящика: $P(К_2) = \frac{5}{12}$.

Так как выбор шаров из каждого ящика — независимые события, вероятность того, что оба шара окажутся красными, равна произведению этих вероятностей:

$P(КК) = P(К_1) \times P(К_2) = \frac{7}{22} \times \frac{5}{12} = \frac{35}{264}$.

3. Вычислим вероятность того, что оба извлеченных шара будут зелёными.

Вероятность вытащить зелёный шар из первого ящика: $P(З_1) = \frac{6}{22}$.

Вероятность вытащить зелёный шар из второго ящика: $P(З_2) = \frac{2}{12}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся зелёными:

$P(ЗЗ) = P(З_1) \times P(З_2) = \frac{6}{22} \times \frac{2}{12} = \frac{12}{264}$.

4. Вычислим вероятность того, что оба извлеченных шара будут жёлтыми.

Вероятность вытащить жёлтый шар из первого ящика: $P(Ж_1) = \frac{9}{22}$.

Вероятность вытащить жёлтый шар из второго ящика: $P(Ж_2) = \frac{5}{12}$.

Вероятность того, что оба шара окажутся жёлтыми:

$P(ЖЖ) = P(Ж_1) \times P(Ж_2) = \frac{9}{22} \times \frac{5}{12} = \frac{45}{264}$.

5. Найдём итоговую вероятность.

Вероятность того, что взятые шары будут одного цвета, равна сумме вероятностей трёх несовместных событий, которые мы рассчитали:

$P(\text{один цвет}) = P(КК) + P(ЗЗ) + P(ЖЖ) = \frac{35}{264} + \frac{12}{264} + \frac{45}{264} = \frac{35 + 12 + 45}{264} = \frac{92}{264}$.

Сократим полученную дробь:

$\frac{92}{264} = \frac{46}{132} = \frac{23}{66}$.

Ответ: $\frac{23}{66}$.

160. Монету подбрасывают 9 раз. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз выпадет число.

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Найдем вероятность противоположного события, а затем вычтем ее из единицы.

Пусть событие A — "хотя бы один раз выпадет число".
Противоположное ему событие B — "ни разу не выпадет число". Это означает, что все 9 раз выпадет другая сторона монеты (назовем ее "герб").

Вероятность выпадения "герба" при одном подбрасывании монеты составляет $p = \frac{1}{2}$.

Поскольку все 9 подбрасываний являются независимыми событиями, вероятность того, что "герб" выпадет 9 раз подряд (событие B), равна произведению вероятностей этих девяти событий:

$P(B) = \left(\frac{1}{2}\right)^9 = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512}$

События A и B являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1:

$P(A) + P(B) = 1$

Теперь мы можем найти вероятность искомого события A:

$P(A) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{512} = \frac{512}{512} - \frac{1}{512} = \frac{511}{512}$

Ответ: $\frac{511}{512}$

161. Два ученика независимо друг от друга решают одну задачу. Первый ученик может решить эту задачу с вероятностью 0,7, а второй — 0,6. Найдите вероятность того, что:

1) оба ученика решат задачу;

2) ни один из учеников не решит задачу;

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

4) только один из учеников решит задачу.

Для решения задачи введем обозначения событий:

Событие $A$ – первый ученик решит задачу.

Событие $B$ – второй ученик решит задачу.

По условию, вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,7$

$P(B) = 0,6$

Также найдем вероятности противоположных событий (ученик не решит задачу):

Событие $\bar{A}$ – первый ученик не решит задачу. Его вероятность: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Событие $\bar{B}$ – второй ученик не решит задачу. Его вероятность: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$.

Так как ученики решают задачу независимо друг от друга, то все указанные события являются независимыми.

1) оба ученика решат задачу;

Это событие означает одновременное наступление событий $A$ и $B$. Для независимых событий вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,7 \times 0,6 = 0,42$

Ответ: 0,42

2) ни один из учеников не решит задачу;

Это событие означает одновременное наступление событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$. Вероятность этого события также равна произведению вероятностей, так как события независимы:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$

Ответ: 0,12

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

Событие "хотя бы один ученик решит задачу" является противоположным событию "ни один из учеников не решит задачу". Поэтому его вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность того, что никто не решит задачу (найденную в пункте 2):

$P(\text{хотя бы один решит}) = 1 - P(\text{ни один не решит}) = 1 - 0,12 = 0,88$

Ответ: 0,88

4) только один из учеников решит задачу.

Это событие означает, что произойдет одна из двух взаимоисключающих ситуаций:

1. Первый ученик решит ($A$), а второй не решит ($\bar{B}$). Вероятность этого: $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,7 \times 0,4 = 0,28$.

2. Первый ученик не решит ($\bar{A}$), а второй решит ($B$). Вероятность этого: $P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

$P(\text{только один}) = 0,28 + 0,18 = 0,46$

Ответ: 0,46

162. Шесть стрелков одновременно независимо друг отдруга стреляют в одну цель. Вероятность попаданиякаждого стрелка равна 0,9. Поражение цели происхо-дит за одно попадание. Найдите вероятность пораже-ния цели.

Пусть событие $A$ заключается в том, что цель поражена. Это означает, что в цель попал хотя бы один из шести стрелков.

Проще найти вероятность противоположного события $\bar{A}$, которое заключается в том, что цель не поражена. Это произойдет только в том случае, если все шесть стрелков промахнутся.

Вероятность попадания для одного стрелка по условию равна $p = 0,9$.

Следовательно, вероятность промаха для одного стрелка равна $q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1$.

Так как выстрелы независимы, вероятность того, что все шесть стрелков промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них:

$P(\bar{A}) = q^6 = (0,1)^6 = 0,000001$.

Вероятность искомого события $A$ (поражение цели) можно найти, вычтя из единицы вероятность противоположного события $\bar{A}$:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,000001 = 0,999999$.

Ответ: 0,999999

163. По мишени стреляют 9 раз. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $\frac{3}{4}$. Какова вероятность того, что в девяти выстрелах будет сделано три промаха?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, поскольку мы имеем дело с серией независимых испытаний (выстрелов), каждое из которых имеет два исхода (попадание или промах) с постоянными вероятностями.

Определим параметры задачи:

• Общее число испытаний (выстрелов): $n = 9$.
• Вероятность попадания в мишень при одном выстреле (назовем это "успехом"): $p = \frac{3}{4}$.
• Вероятность промаха (назовем это "неудачей"): $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Нам нужно найти вероятность того, что в 9 выстрелах будет ровно 3 промаха. Если было 3 промаха ("неудачи"), то, следовательно, было $9 - 3 = 6$ попаданий ("успехов").

Формула Бернулли для нахождения вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

В нашем случае:

• $n=9$ (всего выстрелов)
• $k=6$ (число успехов — попаданий)
• $n-k=3$ (число неудач — промахов)

Подставляем значения в формулу: $P_9(6) = C_9^6 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{9-6} = C_9^6 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_9^6$. Используя свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем: $C_9^6 = C_9^{9-6} = C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Теперь подставим все вычисленные значения в формулу для вероятности: $P_9(6) = 84 \cdot \frac{3^6}{4^6} \cdot \frac{1^3}{4^3} = 84 \cdot \frac{729}{4096} \cdot \frac{1}{64}$.

Объединим все в одну дробь: $P_9(6) = \frac{84 \cdot 729}{4096 \cdot 64} = \frac{61236}{262144}$.

Знаменатель можно представить как $4^6 \cdot 4^3 = 4^9 = 262144$.

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 4: $P_9(6) = \frac{61236 \div 4}{262144 \div 4} = \frac{15309}{65536}$.

Так как знаменатель $65536 = 2^{16}$ является степенью двойки, а числитель $15309$ — нечётное число, то дальнейшее сокращение дроби невозможно.

Ответ: $\frac{15309}{65536}$.

164. Монету подбрасывают 9 раз. Какова вероятность того, что цифра:

1) выпадает четыре раза;

2) не выпадет ни одного раза;

3) выпадает меньше трёх раз;

4) выпадает не менее двух раз?

Данная задача описывает серию из 9 независимых испытаний (подбрасываний монеты), в каждом из которых есть два равновероятных исхода: выпадение цифры (успех) или орла (неудача). Вероятность успеха (выпадения цифры) в одном испытании $p = 1/2$, а вероятность неудачи $q = 1 - p = 1/2$.

Это классический случай для применения формулы Бернулли для биномиального распределения, которая позволяет найти вероятность того, что в $n$ испытаниях событие произойдет ровно $k$ раз:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $n=9$ – общее число подбрасываний, $k$ – число выпадений цифры, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

Поскольку $p = q = 1/2$, формула упрощается: $P_n(k) = C_n^k \cdot (\frac{1}{2})^k \cdot (\frac{1}{2})^{n-k} = C_n^k \cdot (\frac{1}{2})^n$.

Общее число всех возможных исходов при 9 подбрасываниях монеты равно $2^9 = 512$.

1) выпадет четыре раза;

Требуется найти вероятность того, что цифра выпадет ровно 4 раза. Здесь $n=9$, $k=4$.

Число благоприятных исходов – это количество способов выбрать 4 подбрасывания из 9, в которых выпадет цифра. Это число сочетаний $C_9^4$.

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$.

Вероятность этого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(k=4) = \frac{C_9^4}{2^9} = \frac{126}{512}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P(k=4) = \frac{63}{256}$.

Ответ: $\frac{63}{256}$

2) не выпадет ни одного раза;

Требуется найти вероятность того, что цифра не выпадет ни разу. Здесь $n=9$, $k=0$. Это означает, что все 9 раз выпал орёл.

Число благоприятных исходов: $C_9^0 = \frac{9!}{0!(9-0)!} = 1$.

Вероятность этого события:

$P(k=0) = \frac{C_9^0}{2^9} = \frac{1}{512}$.

Ответ: $\frac{1}{512}$

3) выпадет меньше трёх раз;

Событие "цифра выпадет меньше трёх раз" означает, что она выпадет 0, 1 или 2 раза. Чтобы найти вероятность этого события, нужно сложить вероятности каждого из этих исходов: $P(k<3) = P(k=0) + P(k=1) + P(k=2)$.

Найдем число благоприятных исходов для каждого случая:

• $k=0$: $C_9^0 = 1$
• $k=1$: $C_9^1 = \frac{9!}{1!(9-1)!} = 9$
• $k=2$: $C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$

Общее число благоприятных исходов: $1 + 9 + 36 = 46$.

Вероятность события:

$P(k<3) = \frac{46}{512}$.

Сократим дробь на 2:

$P(k<3) = \frac{23}{256}$.

Ответ: $\frac{23}{256}$

4) выпадет не менее двух раз?

Событие "цифра выпадет не менее двух раз" означает, что она выпадет 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 раз. Проще найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из 1.

Противоположное событие – "цифра выпадет меньше двух раз", то есть 0 или 1 раз. Обозначим это событие как $A'$.

$P(A') = P(k<2) = P(k=0) + P(k=1)$.

Число исходов для $k=0$ равно $C_9^0 = 1$.

Число исходов для $k=1$ равно $C_9^1 = 9$.

Общее число исходов для противоположного события: $1 + 9 = 10$.

Вероятность противоположного события:

$P(A') = \frac{10}{512}$.

Тогда вероятность искомого события (обозначим его $A$) равна:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{10}{512} = \frac{512-10}{512} = \frac{502}{512}$.

Сократим дробь на 2:

$P(A) = \frac{251}{256}$.

Ответ: $\frac{251}{256}$

165. В ящике лежат 8 синих и 5 зелёных шаров. Из ящика шесть раз вынимают по одному шару и кладут назад перед следующим испытанием. Найдите вероятность того, что из пяти вынутых шаров синий шар:

1) вынимали два раза;

2) вынимали не менее двух раз;

3) вынимали более трёх раз.

В ящике находится 8 синих и 5 зелёных шаров, всего $8 + 5 = 13$ шаров. Испытание состоит в извлечении одного шара. Так как шар каждый раз возвращают обратно, все испытания являются независимыми. Вероятность вынуть синий шар (событие "успех") в одном испытании равна $p = \frac{8}{13}$. Вероятность вынуть зелёный шар (событие "неудача") равна $q = 1 - p = 1 - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}$.

По условию, шар вынимают 5 раз (упоминание шести раз, вероятно, опечатка, так как вопрос задается про пять вынутых шаров). Мы имеем дело с серией из $n=5$ независимых испытаний, поэтому для решения будем использовать формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

1) вынимали два раза
Нужно найти вероятность того, что из 5 испытаний синий шар вынули ровно $k=2$ раза.
$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{8}{13})^2 \cdot (\frac{5}{13})^{5-2} = \frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{8^2}{13^2} \cdot \frac{5^3}{13^3}$
$P_5(2) = 10 \cdot \frac{64}{169} \cdot \frac{125}{2197} = \frac{10 \cdot 64 \cdot 125}{13^5} = \frac{80000}{371293}$
Ответ: $\frac{80000}{371293}$

2) вынимали не менее двух раз
Это означает, что синий шар вынули 2, 3, 4 или 5 раз. Проще найти вероятность противоположного события (синий шар вынули 0 или 1 раз) и вычесть её из 1.
$P(k \ge 2) = 1 - (P_5(0) + P_5(1))$
Найдём $P_5(0)$ и $P_5(1)$:
$P_5(0) = C_5^0 (\frac{8}{13})^0 (\frac{5}{13})^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5^5}{13^5} = \frac{3125}{371293}$
$P_5(1) = C_5^1 (\frac{8}{13})^1 (\frac{5}{13})^4 = 5 \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{5^4}{13^4} = \frac{40 \cdot 625}{13^5} = \frac{25000}{371293}$
Теперь найдём искомую вероятность:
$P(k \ge 2) = 1 - (\frac{3125}{371293} + \frac{25000}{371293}) = 1 - \frac{28125}{371293} = \frac{371293 - 28125}{371293} = \frac{343168}{371293}$
Ответ: $\frac{343168}{371293}$

3) вынимали более трёх раз
Это означает, что синий шар вынули 4 или 5 раз. Нужно найти сумму вероятностей $P_5(4) + P_5(5)$.
$P_5(4) = C_5^4 (\frac{8}{13})^4 (\frac{5}{13})^1 = 5 \cdot \frac{8^4}{13^4} \cdot \frac{5}{13} = \frac{25 \cdot 4096}{13^5} = \frac{102400}{371293}$
$P_5(5) = C_5^5 (\frac{8}{13})^5 (\frac{5}{13})^0 = 1 \cdot \frac{8^5}{13^5} \cdot 1 = \frac{32768}{371293}$
Суммируем вероятности:
$P(k > 3) = P_5(4) + P_5(5) = \frac{102400}{371293} + \frac{32768}{371293} = \frac{135168}{371293}$
Ответ: $\frac{135168}{371293}$