Номер 164, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Монету подбрасывают 9 раз. Какова вероятность того, что цифра:

1) выпадает четыре раза;

2) не выпадет ни одного раза;

3) выпадает меньше трёх раз;

4) выпадает не менее двух раз?

Данная задача описывает серию из 9 независимых испытаний (подбрасываний монеты), в каждом из которых есть два равновероятных исхода: выпадение цифры (успех) или орла (неудача). Вероятность успеха (выпадения цифры) в одном испытании $p = 1/2$, а вероятность неудачи $q = 1 - p = 1/2$.

Это классический случай для применения формулы Бернулли для биномиального распределения, которая позволяет найти вероятность того, что в $n$ испытаниях событие произойдет ровно $k$ раз:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $n=9$ – общее число подбрасываний, $k$ – число выпадений цифры, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

Поскольку $p = q = 1/2$, формула упрощается: $P_n(k) = C_n^k \cdot (\frac{1}{2})^k \cdot (\frac{1}{2})^{n-k} = C_n^k \cdot (\frac{1}{2})^n$.

Общее число всех возможных исходов при 9 подбрасываниях монеты равно $2^9 = 512$.

1) выпадет четыре раза;

Требуется найти вероятность того, что цифра выпадет ровно 4 раза. Здесь $n=9$, $k=4$.

Число благоприятных исходов – это количество способов выбрать 4 подбрасывания из 9, в которых выпадет цифра. Это число сочетаний $C_9^4$.

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$.

Вероятность этого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(k=4) = \frac{C_9^4}{2^9} = \frac{126}{512}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P(k=4) = \frac{63}{256}$.

Ответ: $\frac{63}{256}$

2) не выпадет ни одного раза;

Требуется найти вероятность того, что цифра не выпадет ни разу. Здесь $n=9$, $k=0$. Это означает, что все 9 раз выпал орёл.

Число благоприятных исходов: $C_9^0 = \frac{9!}{0!(9-0)!} = 1$.

Вероятность этого события:

$P(k=0) = \frac{C_9^0}{2^9} = \frac{1}{512}$.

Ответ: $\frac{1}{512}$

3) выпадет меньше трёх раз;

Событие "цифра выпадет меньше трёх раз" означает, что она выпадет 0, 1 или 2 раза. Чтобы найти вероятность этого события, нужно сложить вероятности каждого из этих исходов: $P(k<3) = P(k=0) + P(k=1) + P(k=2)$.

Найдем число благоприятных исходов для каждого случая:

• $k=0$: $C_9^0 = 1$
• $k=1$: $C_9^1 = \frac{9!}{1!(9-1)!} = 9$
• $k=2$: $C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$

Общее число благоприятных исходов: $1 + 9 + 36 = 46$.

Вероятность события:

$P(k<3) = \frac{46}{512}$.

Сократим дробь на 2:

$P(k<3) = \frac{23}{256}$.

Ответ: $\frac{23}{256}$

4) выпадет не менее двух раз?

Событие "цифра выпадет не менее двух раз" означает, что она выпадет 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 раз. Проще найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из 1.

Противоположное событие – "цифра выпадет меньше двух раз", то есть 0 или 1 раз. Обозначим это событие как $A'$.

$P(A') = P(k<2) = P(k=0) + P(k=1)$.

Число исходов для $k=0$ равно $C_9^0 = 1$.

Число исходов для $k=1$ равно $C_9^1 = 9$.

Общее число исходов для противоположного события: $1 + 9 = 10$.

Вероятность противоположного события:

$P(A') = \frac{10}{512}$.

Тогда вероятность искомого события (обозначим его $A$) равна:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{10}{512} = \frac{512-10}{512} = \frac{502}{512}$.

Сократим дробь на 2:

$P(A) = \frac{251}{256}$.

Ответ: $\frac{251}{256}$