Номер 171, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Имеются две колоды, в каждой из которых лежат по три карточки с номерами 1, 3 и 4. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. В этом испытании изучают случайную величину, равную произведению чисел на выбранных карточках. Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Пусть $X$ — случайная величина, равная произведению чисел на двух выбранных карточках. Карточки выбираются из двух одинаковых колод, в каждой из которых находятся карточки с номерами 1, 3 и 4.

Выбор карточки из каждой колоды — это независимые события. Вероятность вытащить любую из трех карточек из одной колоды равна $\frac{1}{3}$. Общее число возможных пар карточек (исходов) равно $3 \times 3 = 9$. Каждый из этих исходов равновероятен, и его вероятность равна $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Найдем все возможные значения случайной величины $X$. Для этого перечислим все возможные пары чисел на карточках и их произведения:
(1, 1) $\rightarrow$ произведение $1 \cdot 1 = 1$
(1, 3) $\rightarrow$ произведение $1 \cdot 3 = 3$
(1, 4) $\rightarrow$ произведение $1 \cdot 4 = 4$
(3, 1) $\rightarrow$ произведение $3 \cdot 1 = 3$
(3, 3) $\rightarrow$ произведение $3 \cdot 3 = 9$
(3, 4) $\rightarrow$ произведение $3 \cdot 4 = 12$
(4, 1) $\rightarrow$ произведение $4 \cdot 1 = 4$
(4, 3) $\rightarrow$ произведение $4 \cdot 3 = 12$
(4, 4) $\rightarrow$ произведение $4 \cdot 4 = 16$

Таким образом, случайная величина $X$ может принимать следующие уникальные значения: 1, 3, 4, 9, 12, 16.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения $X$, подсчитав количество исходов, приводящих к этому значению:
$P(X=1)$ — соответствует 1 исходу (1, 1). Вероятность: $\frac{1}{9}$.
$P(X=3)$ — соответствуют 2 исходам (1, 3) и (3, 1). Вероятность: $\frac{2}{9}$.
$P(X=4)$ — соответствуют 2 исходам (1, 4) и (4, 1). Вероятность: $\frac{2}{9}$.
$P(X=9)$ — соответствует 1 исходу (3, 3). Вероятность: $\frac{1}{9}$.
$P(X=12)$ — соответствуют 2 исходам (3, 4) и (4, 3). Вероятность: $\frac{2}{9}$.
$P(X=16)$ — соответствует 1 исходу (4, 4). Вероятность: $\frac{1}{9}$.

Итоговая таблица распределения вероятностей случайной величины $X$:

Ответ: