Номер 174, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 70%. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из шести выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Пусть $X$ - случайная величина, равная количеству попаданий стрелка в мишень. Это биномиальное распределение, так как проводится серия независимых испытаний (выстрелов), в каждом из которых есть два исхода: "успех" (попадание) или "неудача" (промах).

Даны следующие параметры:

• Количество испытаний (выстрелов): $n = 6$.
• Вероятность "успеха" (попадания) в одном испытании: $p = 70\% = 0.7$.
• Вероятность "неудачи" (промаха) в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3$.

Возможные значения случайной величины $X$: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.

Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из шести выстрелов.

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $k$ (от 0 до 6):

• $k=0$: $P(X=0) = C_6^0 \cdot (0.7)^0 \cdot (0.3)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.000729 = 0.000729$
• $k=1$: $P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.7)^1 \cdot (0.3)^5 = 6 \cdot 0.7 \cdot 0.00243 = 0.010206$
• $k=2$: $P(X=2) = C_6^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^4 = 15 \cdot 0.49 \cdot 0.0081 = 0.059535$
• $k=3$: $P(X=3) = C_6^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^3 = 20 \cdot 0.343 \cdot 0.027 = 0.18522$
• $k=4$: $P(X=4) = C_6^4 \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^2 = 15 \cdot 0.2401 \cdot 0.09 = 0.324135$
• $k=5$: $P(X=5) = C_6^5 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^1 = 6 \cdot 0.16807 \cdot 0.3 = 0.302526$
• $k=6$: $P(X=6) = C_6^6 \cdot (0.7)^6 \cdot (0.3)^0 = 1 \cdot 0.117649 \cdot 1 = 0.117649$

Проверка: Сумма всех вероятностей должна быть равна 1.
$0.000729 + 0.010206 + 0.059535 + 0.18522 + 0.324135 + 0.302526 + 0.117649 = 1$.

Таблица распределения вероятностей:

Ответ:

Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Математическое ожидание $M(X)$ для дискретной случайной величины можно найти по формуле:
$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$
Однако для биномиального распределения существует более простая формула для нахождения математического ожидания:
$M(X) = n \cdot p$

Подставим наши значения $n = 6$ и $p = 0.7$:
$M(X) = 6 \cdot 0.7 = 4.2$

Таким образом, среднее ожидаемое количество попаданий в серии из шести выстрелов равно 4.2.

Ответ: 4.2