Номер 4, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Решите уравнение

$(7x+3)^{x-4} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 7.

Исходное уравнение:

$(7^{x+3})^{x-4} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6}$

1. Преобразуем левую часть уравнения.

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(7^{x+3})^{x-4} = 7^{(x+3)(x-4)}$

Раскроем скобки в показателе степени:

$(x+3)(x-4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12$

Таким образом, левая часть уравнения равна $7^{x^2 - x - 12}$.

2. Преобразуем правую часть уравнения.

Представим числа $\frac{1}{7}$ и $49$ в виде степени с основанием 7:

$\frac{1}{7} = 7^{-1}$

$49 = 7^2$

Подставим эти значения в правую часть уравнения:

$\left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6} = (7^{-1})^x \cdot (7^2)^{x+6}$

Снова используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(7^{-1})^x \cdot (7^2)^{x+6} = 7^{-x} \cdot 7^{2(x+6)} = 7^{-x} \cdot 7^{2x+12}$

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^{-x} \cdot 7^{2x+12} = 7^{-x + 2x + 12} = 7^{x+12}$

Таким образом, правая часть уравнения равна $7^{x+12}$.

3. Решим полученное уравнение.

Приравняем преобразованные левую и правую части:

$7^{x^2 - x - 12} = 7^{x+12}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - x - 12 = x + 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 12 - x - 12 = 0$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: -4; 6.