Номер 173, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. В коробке лежат 5 красных и 7 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 3 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Решение

Пусть случайная величина $X$ — это количество красных шаров среди трех вынутых. Всего в коробке находится $5 + 7 = 12$ шаров. Случайным образом вынимают 3 шара.

Случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3$. Для нахождения математического ожидания необходимо определить закон распределения этой величины, то есть найти вероятности $P(X=k)$ для каждого возможного значения $k$.

Общее число элементарных исходов равно числу способов выбрать 3 шара из 12, то есть числу сочетаний из 12 по 3:

$N = \binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$.

Теперь найдем число исходов, благоприятствующих каждому возможному значению $X$.

1. Событие $X=0$: вынуто 0 красных и 3 синих шара. Число способов выбрать 0 красных шаров из 5 равно $\binom{5}{0} = 1$. Число способов выбрать 3 синих шара из 7 равно $\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$. Число благоприятных исходов: $N_0 = \binom{5}{0} \cdot \binom{7}{3} = 1 \cdot 35 = 35$. Вероятность этого события: $P(X=0) = \frac{N_0}{N} = \frac{35}{220}$.

2. Событие $X=1$: вынут 1 красный и 2 синих шара. Число способов выбрать 1 красный шар из 5 равно $\binom{5}{1} = 5$. Число способов выбрать 2 синих шара из 7 равно $\binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$. Число благоприятных исходов: $N_1 = \binom{5}{1} \cdot \binom{7}{2} = 5 \cdot 21 = 105$. Вероятность этого события: $P(X=1) = \frac{N_1}{N} = \frac{105}{220}$.

3. Событие $X=2$: вынуто 2 красных и 1 синий шар. Число способов выбрать 2 красных шара из 5 равно $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$. Число способов выбрать 1 синий шар из 7 равно $\binom{7}{1} = 7$. Число благоприятных исходов: $N_2 = \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{1} = 10 \cdot 7 = 70$. Вероятность этого события: $P(X=2) = \frac{N_2}{N} = \frac{70}{220}$.

4. Событие $X=3$: вынуто 3 красных и 0 синих шаров. Число способов выбрать 3 красных шара из 5 равно $\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$. Число способов выбрать 0 синих шаров из 7 равно $\binom{7}{0} = 1$. Число благоприятных исходов: $N_3 = \binom{5}{3} \cdot \binom{7}{0} = 10 \cdot 1 = 10$. Вероятность этого события: $P(X=3) = \frac{N_3}{N} = \frac{10}{220}$.

Математическое ожидание $M(X)$ случайной величины $X$ вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X=k) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$.

Подставим найденные вероятности:

$M(X) = 0 \cdot \frac{35}{220} + 1 \cdot \frac{105}{220} + 2 \cdot \frac{70}{220} + 3 \cdot \frac{10}{220} = \frac{0 + 105 + 140 + 30}{220} = \frac{275}{220}$.

Сократим полученную дробь:

$M(X) = \frac{275}{220} = \frac{275 \div 5}{220 \div 5} = \frac{55}{44} = \frac{55 \div 11}{44 \div 11} = \frac{5}{4} = 1.25$.

Ответ: 1,25.