Номер 5, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Решите неравенство:

1) $0,1^{\frac{x^2-4x-15}{x+1}} \ge 0,001;$

2) $0,5^{2x-3} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0.$

1) $0,1^{\frac{x^2-4x-15}{x+1}} \ge 0,001$

Представим обе части неравенства в виде степени с одинаковым основанием 0,1.
Так как $0,001 = 0,1^3$, неравенство принимает вид:
$0,1^{\frac{x^2-4x-15}{x+1}} \ge 0,1^3$

Так как основание степени $0,1$ меньше 1 ($0 < 0,1 < 1$), при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x^2-4x-15}{x+1} \le 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2-4x-15}{x+1} - 3 \le 0$
$\frac{x^2-4x-15 - 3(x+1)}{x+1} \le 0$
$\frac{x^2-4x-15 - 3x - 3}{x+1} \le 0$
$\frac{x^2-7x-18}{x+1} \le 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.
Найдем корни числителя: $x^2-7x-18=0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1=9$ и $x_2=-2$.
Найдем корень знаменателя: $x+1=0 \Rightarrow x_3=-1$.

Нанесем найденные точки на числовую ось. Точки $x=-2$ и $x=9$ (корни числителя) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=-1$ (корень знаменателя) будет выколотой, так как она не входит в ОДЗ.

Определим знаки выражения $\frac{(x+2)(x-9)}{x+1}$ на каждом интервале.
При $x > 9$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
При $-1 < x < 9$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$.
При $-2 < x < -1$ (например, $x=-1.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -2]$ и $(-1; 9]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup (-1; 9]$.

2) $0,5^{2x-3} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$

Преобразуем первое слагаемое, используя свойства степеней:
$0,5^{2x-3} = 0,5^{2x} \cdot 0,5^{-3} = (0,5^x)^2 \cdot (\frac{1}{2})^{-3} = (0,5^x)^2 \cdot 2^3 = 8 \cdot (0,5^x)^2$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:
$8 \cdot (0,5^x)^2 - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$:
$8t^2 - 17t + 2 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8t^2 - 17t + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни:
$t_1 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.
$t_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 8} = \frac{32}{16} = 2$.

Так как ветви параболы $y=8t^2 - 17t + 2$ направлены вверх, неравенство $8t^2 - 17t + 2 \le 0$ выполняется при $t$, находящемся между корнями (включая сами корни):
$\frac{1}{8} \le t \le 2$.
Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 0,5^x$:
$\frac{1}{8} \le 0,5^x \le 2$.

Представим все части двойного неравенства как степени с основанием 0,5:
$\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3 = 0,5^3$.
$2 = (\frac{1}{2})^{-1} = 0,5^{-1}$.
Получаем:
$0,5^3 \le 0,5^x \le 0,5^{-1}$.

Так как основание степени $0,5$ меньше 1 ($0 < 0,5 < 1$), при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства меняются на противоположные:
$3 \ge x \ge -1$.

Запишем решение в стандартном виде: $-1 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-1; 3]$.