Номер 6, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Решите уравнение $7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x$.

Исходное уравнение:

$7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x$

Заметим, что основания степеней $49$, $28$ и $16$ можно выразить через степени чисел $7$ и $4$:

$49 = 7^2$

$16 = 4^2$

$28 = 7 \cdot 4$

Подставим эти выражения в уравнение:

$7 \cdot (7^2)^x + 10 \cdot (7 \cdot 4)^x = 8 \cdot (4^2)^x$

$7 \cdot (7^x)^2 + 10 \cdot 7^x \cdot 4^x = 8 \cdot (4^x)^2$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Поскольку $16^x = (4^x)^2$ всегда больше нуля, мы можем разделить обе части уравнения на $16^x$:

$\frac{7 \cdot (7^x)^2}{(4^x)^2} + \frac{10 \cdot 7^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} = \frac{8 \cdot (4^x)^2}{(4^x)^2}$

Упростим полученное выражение:

$7 \cdot \left(\frac{7^x}{4^x}\right)^2 + 10 \cdot \frac{7^x}{4^x} = 8$

$7 \cdot \left(\left(\frac{7}{4}\right)^x\right)^2 + 10 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^x - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{7}{4}\right)^x$. Так как показательная функция всегда принимает положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$7t^2 + 10t - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 100 + 224 = 324$

Найдем корни для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 7} = \frac{-10 \pm 18}{14}$

$t_1 = \frac{-10 + 18}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$

$t_2 = \frac{-10 - 18}{14} = \frac{-28}{14} = -2$

Согласно условию замены, $t$ должно быть положительным. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию ($t > 0$), поэтому он является посторонним. Используем корень $t_1 = \frac{4}{7}$.

Выполним обратную замену:

$\left(\frac{7}{4}\right)^x = \frac{4}{7}$

Чтобы решить это уравнение, представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{7}{4}$:

$\frac{4}{7} = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\left(\frac{7}{4}\right)^x = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -1$

Проверка:
$7 \cdot 49^{-1} + 10 \cdot 28^{-1} = 8 \cdot 16^{-1}$
$7 \cdot \frac{1}{49} + 10 \cdot \frac{1}{28} = 8 \cdot \frac{1}{16}$
$\frac{1}{7} + \frac{5}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{14} + \frac{5}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Равенство верное.

Ответ: $x = -1$.