Страница 98 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Имеются две колоды, в каждой из которых лежат по три карточки с номерами 1, 3 и 4. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. В этом испытании изучают случайную величину, равную произведению чисел на выбранных карточках. Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Пусть $X$ — случайная величина, равная произведению чисел на двух выбранных карточках. Карточки выбираются из двух одинаковых колод, в каждой из которых находятся карточки с номерами 1, 3 и 4.

Выбор карточки из каждой колоды — это независимые события. Вероятность вытащить любую из трех карточек из одной колоды равна $\frac{1}{3}$. Общее число возможных пар карточек (исходов) равно $3 \times 3 = 9$. Каждый из этих исходов равновероятен, и его вероятность равна $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Найдем все возможные значения случайной величины $X$. Для этого перечислим все возможные пары чисел на карточках и их произведения:
(1, 1) $\rightarrow$ произведение $1 \cdot 1 = 1$
(1, 3) $\rightarrow$ произведение $1 \cdot 3 = 3$
(1, 4) $\rightarrow$ произведение $1 \cdot 4 = 4$
(3, 1) $\rightarrow$ произведение $3 \cdot 1 = 3$
(3, 3) $\rightarrow$ произведение $3 \cdot 3 = 9$
(3, 4) $\rightarrow$ произведение $3 \cdot 4 = 12$
(4, 1) $\rightarrow$ произведение $4 \cdot 1 = 4$
(4, 3) $\rightarrow$ произведение $4 \cdot 3 = 12$
(4, 4) $\rightarrow$ произведение $4 \cdot 4 = 16$

Таким образом, случайная величина $X$ может принимать следующие уникальные значения: 1, 3, 4, 9, 12, 16.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения $X$, подсчитав количество исходов, приводящих к этому значению:
$P(X=1)$ — соответствует 1 исходу (1, 1). Вероятность: $\frac{1}{9}$.
$P(X=3)$ — соответствуют 2 исходам (1, 3) и (3, 1). Вероятность: $\frac{2}{9}$.
$P(X=4)$ — соответствуют 2 исходам (1, 4) и (4, 1). Вероятность: $\frac{2}{9}$.
$P(X=9)$ — соответствует 1 исходу (3, 3). Вероятность: $\frac{1}{9}$.
$P(X=12)$ — соответствуют 2 исходам (3, 4) и (4, 3). Вероятность: $\frac{2}{9}$.
$P(X=16)$ — соответствует 1 исходу (4, 4). Вероятность: $\frac{1}{9}$.

Итоговая таблица распределения вероятностей случайной величины $X$:

Ответ:

172. В коробке лежат 2 красных и 5 синих шаров. Случайным образом из коробки один за другим вынимают по одному шару до тех пор, пока не будет вынут красный шар, и записывают, сколько раз пришлось вынимать шар. Составьте таблицу распределения вероятностей рассматриваемой случайной величины и вычислите её математическое ожидание.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству шаров, которые вынимают из коробки до тех пор, пока не появится красный шар. В коробке находится 7 шаров: 2 красных (К) и 5 синих (С).

Эксперимент прекращается, как только вынут красный шар. Это означает, что последним вынутым шаром всегда будет красный. Минимальное количество вынутых шаров равно 1 (если первый шар оказался красным). Максимальное количество шаров, которые можно вынуть, равно 6 (сначала все 5 синих, а затем один красный). Таким образом, случайная величина $X$ может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Составление таблицы распределения вероятностей

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$. Шары вынимаются один за другим без возвращения.

• Вероятность того, что красный шар будет вынут первым ($X=1$):

  $P(X=1) = \frac{2}{7}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут вторым ($X=2$). Это означает, что первый шар был синим, а второй — красным.

  $P(X=2) = P(С_1, К_2) = \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут третьим ($X=3$). Первые два шара синие, третий — красный.

  $P(X=3) = P(С_1, С_2, К_3) = \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{40}{210} = \frac{4}{21}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут четвертым ($X=4$). Первые три шара синие, четвертый — красный.

  $P(X=4) = P(С_1, С_2, С_3, К_4) = \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{120}{840} = \frac{1}{7}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут пятым ($X=5$). Первые четыре шара синие, пятый — красный.

  $P(X=5) = P(С_1, С_2, С_3, С_4, К_5) = \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{240}{2520} = \frac{2}{21}$

• Вероятность того, что красный шар будет вынут шестым ($X=6$). Первые пять шаров синие, шестой — красный.

  $P(X=6) = P(С_1, С_2, С_3, С_4, С_5, К_6) = \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{240}{5040} = \frac{1}{21}$

Проведем проверку: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

$\frac{2}{7} + \frac{5}{21} + \frac{4}{21} + \frac{1}{7} + \frac{2}{21} + \frac{1}{21} = \frac{6}{21} + \frac{5}{21} + \frac{4}{21} + \frac{3}{21} + \frac{2}{21} + \frac{1}{21} = \frac{6+5+4+3+2+1}{21} = \frac{21}{21} = 1$

Теперь составим таблицу распределения вероятностей.

Ответ: Таблица распределения вероятностей случайной величины $X$:

Вычисление математического ожидания

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы распределения:

$M(X) = 1 \cdot \frac{2}{7} + 2 \cdot \frac{5}{21} + 3 \cdot \frac{4}{21} + 4 \cdot \frac{1}{7} + 5 \cdot \frac{2}{21} + 6 \cdot \frac{1}{21}$

Для удобства вычислений приведем все дроби к общему знаменателю 21:

$M(X) = 1 \cdot \frac{6}{21} + 2 \cdot \frac{5}{21} + 3 \cdot \frac{4}{21} + 4 \cdot \frac{3}{21} + 5 \cdot \frac{2}{21} + 6 \cdot \frac{1}{21}$

$M(X) = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{21}$

$M(X) = \frac{6 + 10 + 12 + 12 + 10 + 6}{21} = \frac{56}{21}$

Сократим полученную дробь на 7:

$M(X) = \frac{56 \div 7}{21 \div 7} = \frac{8}{3}$

Ответ: Математическое ожидание случайной величины равно $\frac{8}{3}$.

173. В коробке лежат 5 красных и 7 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 3 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Решение

Пусть случайная величина $X$ — это количество красных шаров среди трех вынутых. Всего в коробке находится $5 + 7 = 12$ шаров. Случайным образом вынимают 3 шара.

Случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3$. Для нахождения математического ожидания необходимо определить закон распределения этой величины, то есть найти вероятности $P(X=k)$ для каждого возможного значения $k$.

Общее число элементарных исходов равно числу способов выбрать 3 шара из 12, то есть числу сочетаний из 12 по 3:

$N = \binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$.

Теперь найдем число исходов, благоприятствующих каждому возможному значению $X$.

1. Событие $X=0$: вынуто 0 красных и 3 синих шара. Число способов выбрать 0 красных шаров из 5 равно $\binom{5}{0} = 1$. Число способов выбрать 3 синих шара из 7 равно $\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$. Число благоприятных исходов: $N_0 = \binom{5}{0} \cdot \binom{7}{3} = 1 \cdot 35 = 35$. Вероятность этого события: $P(X=0) = \frac{N_0}{N} = \frac{35}{220}$.

2. Событие $X=1$: вынут 1 красный и 2 синих шара. Число способов выбрать 1 красный шар из 5 равно $\binom{5}{1} = 5$. Число способов выбрать 2 синих шара из 7 равно $\binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$. Число благоприятных исходов: $N_1 = \binom{5}{1} \cdot \binom{7}{2} = 5 \cdot 21 = 105$. Вероятность этого события: $P(X=1) = \frac{N_1}{N} = \frac{105}{220}$.

3. Событие $X=2$: вынуто 2 красных и 1 синий шар. Число способов выбрать 2 красных шара из 5 равно $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$. Число способов выбрать 1 синий шар из 7 равно $\binom{7}{1} = 7$. Число благоприятных исходов: $N_2 = \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{1} = 10 \cdot 7 = 70$. Вероятность этого события: $P(X=2) = \frac{N_2}{N} = \frac{70}{220}$.

4. Событие $X=3$: вынуто 3 красных и 0 синих шаров. Число способов выбрать 3 красных шара из 5 равно $\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$. Число способов выбрать 0 синих шаров из 7 равно $\binom{7}{0} = 1$. Число благоприятных исходов: $N_3 = \binom{5}{3} \cdot \binom{7}{0} = 10 \cdot 1 = 10$. Вероятность этого события: $P(X=3) = \frac{N_3}{N} = \frac{10}{220}$.

Математическое ожидание $M(X)$ случайной величины $X$ вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{k=0}^{3} k \cdot P(X=k) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$.

Подставим найденные вероятности:

$M(X) = 0 \cdot \frac{35}{220} + 1 \cdot \frac{105}{220} + 2 \cdot \frac{70}{220} + 3 \cdot \frac{10}{220} = \frac{0 + 105 + 140 + 30}{220} = \frac{275}{220}$.

Сократим полученную дробь:

$M(X) = \frac{275}{220} = \frac{275 \div 5}{220 \div 5} = \frac{55}{44} = \frac{55 \div 11}{44 \div 11} = \frac{5}{4} = 1.25$.

Ответ: 1,25.

174. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 70%. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из шести выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Пусть $X$ - случайная величина, равная количеству попаданий стрелка в мишень. Это биномиальное распределение, так как проводится серия независимых испытаний (выстрелов), в каждом из которых есть два исхода: "успех" (попадание) или "неудача" (промах).

Даны следующие параметры:

• Количество испытаний (выстрелов): $n = 6$.
• Вероятность "успеха" (попадания) в одном испытании: $p = 70\% = 0.7$.
• Вероятность "неудачи" (промаха) в одном испытании: $q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3$.

Возможные значения случайной величины $X$: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.

Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из шести выстрелов.

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $k$ (от 0 до 6):

• $k=0$: $P(X=0) = C_6^0 \cdot (0.7)^0 \cdot (0.3)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.000729 = 0.000729$
• $k=1$: $P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.7)^1 \cdot (0.3)^5 = 6 \cdot 0.7 \cdot 0.00243 = 0.010206$
• $k=2$: $P(X=2) = C_6^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^4 = 15 \cdot 0.49 \cdot 0.0081 = 0.059535$
• $k=3$: $P(X=3) = C_6^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^3 = 20 \cdot 0.343 \cdot 0.027 = 0.18522$
• $k=4$: $P(X=4) = C_6^4 \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^2 = 15 \cdot 0.2401 \cdot 0.09 = 0.324135$
• $k=5$: $P(X=5) = C_6^5 \cdot (0.7)^5 \cdot (0.3)^1 = 6 \cdot 0.16807 \cdot 0.3 = 0.302526$
• $k=6$: $P(X=6) = C_6^6 \cdot (0.7)^6 \cdot (0.3)^0 = 1 \cdot 0.117649 \cdot 1 = 0.117649$

Проверка: Сумма всех вероятностей должна быть равна 1.
$0.000729 + 0.010206 + 0.059535 + 0.18522 + 0.324135 + 0.302526 + 0.117649 = 1$.

Таблица распределения вероятностей:

Ответ:

Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Математическое ожидание $M(X)$ для дискретной случайной величины можно найти по формуле:
$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$
Однако для биномиального распределения существует более простая формула для нахождения математического ожидания:
$M(X) = n \cdot p$

Подставим наши значения $n = 6$ и $p = 0.7$:
$M(X) = 6 \cdot 0.7 = 4.2$

Таким образом, среднее ожидаемое количество попаданий в серии из шести выстрелов равно 4.2.

Ответ: 4.2