Страница 95 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две пятёрки?

Для решения этой задачи необходимо определить общее количество возможных исходов и количество исходов, благоприятствующих интересующему нас событию.

Стандартный игральный кубик имеет 6 граней с числами от 1 до 6. При броске одного кубика существует 6 возможных исходов.

Поскольку бросают два кубика, общее число всех возможных комбинаций (исходов) равно произведению числа исходов для каждого кубика. Обозначим общее число исходов как $n$.

$n = 6 \times 6 = 36$

Благоприятным исходом является событие, когда на обоих кубиках выпадает пятёрка. Существует только одна такая комбинация: (5; 5). Обозначим число благоприятных исходов как $m$.

$m = 1$

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

151. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут два числа, кратные трём?

При броске двух игральных кубиков общее число всех возможных равновероятных исходов равно произведению числа исходов для каждого кубика. У одного кубика 6 граней, поэтому общее число исходов $N$ составляет:

$N = 6 \times 6 = 36$

Теперь найдем количество благоприятных исходов. Благоприятным исходом является выпадение на обоих кубиках числа, кратного трём.

На гранях одного игрального кубика есть числа от 1 до 6. Среди них кратными трём являются только два числа: 3 и 6.

Следовательно, для того чтобы событие произошло, на первом кубике должно выпасть одно из двух чисел (3 или 6), и на втором кубике также должно выпасть одно из этих двух чисел (3 или 6).

Количество благоприятных исходов $m$ равно произведению числа благоприятных вариантов для каждого кубика:

$m = 2 \times 2 = 4$

Возможные благоприятные пары: (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6).

Вероятность $P$ события вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{m}{N} = \frac{4}{36}$

Сократив дробь, получаем:

$P = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

152. Дважды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка ни разу не выпадет?

Для нахождения вероятности события необходимо определить общее число равновозможных исходов и число исходов, благоприятствующих этому событию.

При каждом броске игрального кубика возможно 6 исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Поскольку кубик бросают дважды, а результаты бросков являются независимыми событиями, общее число всех возможных исходов $N$ равно произведению числа исходов для каждого броска:
$N = 6 \times 6 = 36$.

Нас интересует событие, при котором шестёрка не выпадет ни разу. Это означает, что при первом броске может выпасть любое из 5 чисел, кроме шестёрки (1, 2, 3, 4, 5). Аналогично, при втором броске также должно выпасть одно из этих 5 чисел.
Количество благоприятных исходов $M$ для этого события равно произведению количества благоприятных исходов для каждого из двух бросков:
$M = 5 \times 5 = 25$.

Вероятность $P$ искомого события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P = \frac{M}{N} = \frac{25}{36}$.

Ответ: $\frac{25}{36}$

153. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только в третий раз?

Для решения этой задачи необходимо определить вероятность наступления трех последовательных независимых событий:
1. При первом броске игрального кубика не выпала шестёрка.
2. При втором броске игрального кубика не выпала шестёрка.
3. При третьем броске игрального кубика выпала шестёрка.

Сначала найдем вероятность каждого из этих событий по отдельности. Стандартный игральный кубик имеет 6 граней.

Вероятность выпадения шестёрки при одном броске составляет $P(6) = \frac{1}{6}$, так как шестёрка — это один из шести равновозможных исходов.

Соответственно, вероятность того, что шестёрка не выпадет (т.е. выпадет любое из чисел 1, 2, 3, 4 или 5), равна $P(\text{не } 6) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Так как броски кубика являются независимыми событиями, общая вероятность того, что произойдет вся описанная последовательность событий, равна произведению вероятностей каждого из них:
- Вероятность того, что при первом броске не выпадет шестёрка, равна $\frac{5}{6}$.
- Вероятность того, что при втором броске не выпадет шестёрка, равна $\frac{5}{6}$.
- Вероятность того, что при третьем броске выпадет шестёрка, равна $\frac{1}{6}$.

Перемножим эти вероятности:
$P(\text{искомое событие}) = P(\text{не } 6 \text{ на 1-м}) \times P(\text{не } 6 \text{ на 2-м}) \times P(6 \text{ на 3-м})$
$P = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5 \times 5 \times 1}{6 \times 6 \times 6} = \frac{25}{216}$

Ответ: $\frac{25}{216}$

154. В гостинице параллельно работает три лифта. Вероятность выхода из строя первого лифта равна $2\%$, второго — $4\%$, третьего — $1\%$. Какова вероятность того, что гостю придётся подниматься в свой номер по лестнице?

Гостю придётся подниматься по лестнице в том случае, если все три лифта выйдут из строя одновременно. Поскольку работа лифтов является независимыми событиями, вероятность того, что все они сломаются, равна произведению вероятностей выхода из строя каждого лифта.

Сначала переведем заданные вероятности из процентов в десятичные дроби:

Вероятность выхода из строя первого лифта: $P_1 = 2\% = 0.02$

Вероятность выхода из строя второго лифта: $P_2 = 4\% = 0.04$

Вероятность выхода из строя третьего лифта: $P_3 = 1\% = 0.01$

Теперь вычислим вероятность $P$ того, что все три лифта окажутся неисправными. Для этого перемножим вероятности этих трех независимых событий:

$P = P_1 \times P_2 \times P_3$

Подставим значения:

$P = 0.02 \times 0.04 \times 0.01 = 0.000008$

Эту вероятность можно также выразить в процентах:

$0.000008 \times 100\% = 0.0008\%$

Ответ: $0.000008$ (или $0.0008\%$).

155. В ящике лежат 4 зелёных и 6 синих шара. Наугад из ящика вынимают два шара и кладут их назад. Эту же операцию повторяют ещё раз. Какова вероятность того, что все вынутые шары будут синего цвета?

По условию задачи, в ящике лежат 4 зелёных и 6 синих шаров. Общее количество шаров в ящике составляет $4 + 6 = 10$.

Операция состоит в том, что из ящика наугад вынимают два шара и кладут их назад. Эту операцию повторяют дважды. Мы ищем вероятность того, что все вынутые шары (все четыре) будут синего цвета.

Это означает, что в первом извлечении оба шара должны быть синими, и во втором извлечении оба шара также должны быть синими. Поскольку после каждого извлечения шары возвращаются в ящик, состав шаров перед вторым извлечением не меняется. Следовательно, результаты двух извлечений являются независимыми событиями.

Сначала вычислим вероятность того, что в ходе одного извлечения будут вынуты два синих шара.

Общее число способов вынуть 2 шара из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Число благоприятных исходов — это количество способов вынуть 2 синих шара из 6 имеющихся синих шаров. Оно равно числу сочетаний из 6 по 2:
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Вероятность $P_1$ вынуть два синих шара за одно извлечение равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P_1 = \frac{C_6^2}{C_{10}^2} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

Поскольку нам нужно, чтобы это событие произошло дважды подряд, а извлечения независимы, искомая вероятность $P$ будет равна произведению вероятностей каждого из этих событий:
$P = P_1 \times P_1 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

156. Из коробки, в которой лежат 3 синих и 7 красных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся красными.

Для решения этой задачи необходимо вычислить вероятность наступления двух зависимых событий: сначала вынимают один красный шар, а затем, из оставшихся, второй красный шар.

Определим общее количество шаров в коробке:

$3 \text{ синих} + 7 \text{ красных} = 10 \text{ шаров}$

Шаг 1: Вероятность вынуть первый красный шар.

Вероятность того, что первый вынутый шар окажется красным, равна отношению количества красных шаров к общему количеству шаров. Обозначим это событие как A.

$P(A) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{7}{10}$

Шаг 2: Вероятность вынуть второй красный шар.

После того как первый красный шар был вынут, в коробке осталось 9 шаров. Количество красных шаров также уменьшилось на один, и их стало 6.

Вероятность того, что второй шар также окажется красным (событие B), при условии, что первый уже был красным (событие A), вычисляется так:

$P(B|A) = \frac{\text{оставшееся количество красных шаров}}{\text{оставшееся общее количество шаров}} = \frac{6}{9}$

Дробь $\frac{6}{9}$ можно сократить на 3:

$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Шаг 3: Вероятность того, что оба шара окажутся красными.

Чтобы найти вероятность того, что оба события произойдут последовательно, нужно перемножить вероятности этих событий:

$P(\text{оба красные}) = P(A) \times P(B|A) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9}$

Выполним умножение:

$\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90}$

Теперь сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 6:

$\frac{42 \div 6}{90 \div 6} = \frac{7}{15}$

Таким образом, вероятность того, что оба вынутых шара окажутся красными, составляет $\frac{7}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15}$

157. Три завода изготавливают соответственно 60%, 30% и 10% всех электролампочек, поступающих на рынок в данном регионе. В поставляемой ими продукции брак соответственно составляет 1%, 2% и 3%. Какова вероятность того, что купленная наугад электролампочка будет бракованной?

Это задача на вычисление полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что купленная наугад электролампочка будет бракованной. Лампочка может быть изготовлена одним из трех заводов. Введем гипотезы:
$H_1$ – лампочка изготовлена первым заводом.
$H_2$ – лампочка изготовлена вторым заводом.
$H_3$ – лампочка изготовлена третьим заводом.

Из условия задачи известны вероятности этих гипотез. Они равны долям продукции каждого завода на рынке:
$P(H_1) = 60\% = 0.6$
$P(H_2) = 30\% = 0.3$
$P(H_3) = 10\% = 0.1$

Также известны условные вероятности события $A$ (появления бракованной лампочки) для каждой гипотезы. Они равны доле брака в продукции каждого завода:
$P(A|H_1) = 1\% = 0.01$
$P(A|H_2) = 2\% = 0.02$
$P(A|H_3) = 3\% = 0.03$

Вероятность того, что купленная наугад лампочка будет бракованной, вычисляется по формуле полной вероятности:
$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3)$

Подставим в формулу числовые значения и произведем расчет:
$P(A) = 0.6 \cdot 0.01 + 0.3 \cdot 0.02 + 0.1 \cdot 0.03$
$P(A) = 0.006 + 0.006 + 0.003$
$P(A) = 0.015$

Таким образом, вероятность купить бракованную лампочку составляет 0.015, или 1.5%.

Ответ: 0.015

158. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,8, второго — 0,9, третьего — 0,7. Какова вероятность того, что будет:

1) три промаха;

2) только одно попадание?

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка:
$P_1 = 0,8$ — вероятность попадания первого стрелка.
$P_2 = 0,9$ — вероятность попадания второго стрелка.
$P_3 = 0,7$ — вероятность попадания третьего стрелка.

Тогда вероятности промаха для каждого стрелка (противоположные события) будут равны:
$Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,8 = 0,2$
$Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,9 = 0,1$
$Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,7 = 0,3$

1) три промаха;

Событие "три промаха" означает, что все три стрелка промахнулись. Поскольку выстрелы являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей.
$P(\text{три промаха}) = Q_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3$
$P(\text{три промаха}) = 0,2 \cdot 0,1 \cdot 0,3 = 0,006$
Ответ: 0,006

2) только одно попадание?

Событие "только одно попадание" состоит из трех несовместных (взаимоисключающих) исходов:
1. Первый стрелок попал, а второй и третий промахнулись.
2. Второй стрелок попал, а первый и третий промахнулись.
3. Третий стрелок попал, а первый и второй промахнулись.

Найдем вероятность каждого исхода, перемножая вероятности соответствующих независимых событий:
Вероятность первого исхода: $P(\text{исход 1}) = P_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3 = 0,8 \cdot 0,1 \cdot 0,3 = 0,024$
Вероятность второго исхода: $P(\text{исход 2}) = Q_1 \cdot P_2 \cdot Q_3 = 0,2 \cdot 0,9 \cdot 0,3 = 0,054$
Вероятность третьего исхода: $P(\text{исход 3}) = Q_1 \cdot Q_2 \cdot P_3 = 0,2 \cdot 0,1 \cdot 0,7 = 0,014$

Общая вероятность того, что будет ровно одно попадание, равна сумме вероятностей этих трех исходов:
$P(\text{одно попадание}) = P(\text{исход 1}) + P(\text{исход 2}) + P(\text{исход 3})$
$P(\text{одно попадание}) = 0,024 + 0,054 + 0,014 = 0,092$
Ответ: 0,092