Номер 158, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

158. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,8, второго — 0,9, третьего — 0,7. Какова вероятность того, что будет:

1) три промаха;

2) только одно попадание?

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка:
$P_1 = 0,8$ — вероятность попадания первого стрелка.
$P_2 = 0,9$ — вероятность попадания второго стрелка.
$P_3 = 0,7$ — вероятность попадания третьего стрелка.

Тогда вероятности промаха для каждого стрелка (противоположные события) будут равны:
$Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,8 = 0,2$
$Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,9 = 0,1$
$Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,7 = 0,3$

1) три промаха;

Событие "три промаха" означает, что все три стрелка промахнулись. Поскольку выстрелы являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей.
$P(\text{три промаха}) = Q_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3$
$P(\text{три промаха}) = 0,2 \cdot 0,1 \cdot 0,3 = 0,006$
Ответ: 0,006

2) только одно попадание?

Событие "только одно попадание" состоит из трех несовместных (взаимоисключающих) исходов:
1. Первый стрелок попал, а второй и третий промахнулись.
2. Второй стрелок попал, а первый и третий промахнулись.
3. Третий стрелок попал, а первый и второй промахнулись.

Найдем вероятность каждого исхода, перемножая вероятности соответствующих независимых событий:
Вероятность первого исхода: $P(\text{исход 1}) = P_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3 = 0,8 \cdot 0,1 \cdot 0,3 = 0,024$
Вероятность второго исхода: $P(\text{исход 2}) = Q_1 \cdot P_2 \cdot Q_3 = 0,2 \cdot 0,9 \cdot 0,3 = 0,054$
Вероятность третьего исхода: $P(\text{исход 3}) = Q_1 \cdot Q_2 \cdot P_3 = 0,2 \cdot 0,1 \cdot 0,7 = 0,014$

Общая вероятность того, что будет ровно одно попадание, равна сумме вероятностей этих трех исходов:
$P(\text{одно попадание}) = P(\text{исход 1}) + P(\text{исход 2}) + P(\text{исход 3})$
$P(\text{одно попадание}) = 0,024 + 0,054 + 0,014 = 0,092$
Ответ: 0,092