Номер 163, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. По мишени стреляют 9 раз. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $\frac{3}{4}$. Какова вероятность того, что в девяти выстрелах будет сделано три промаха?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, поскольку мы имеем дело с серией независимых испытаний (выстрелов), каждое из которых имеет два исхода (попадание или промах) с постоянными вероятностями.

Определим параметры задачи:

• Общее число испытаний (выстрелов): $n = 9$.
• Вероятность попадания в мишень при одном выстреле (назовем это "успехом"): $p = \frac{3}{4}$.
• Вероятность промаха (назовем это "неудачей"): $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Нам нужно найти вероятность того, что в 9 выстрелах будет ровно 3 промаха. Если было 3 промаха ("неудачи"), то, следовательно, было $9 - 3 = 6$ попаданий ("успехов").

Формула Бернулли для нахождения вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

В нашем случае:

• $n=9$ (всего выстрелов)
• $k=6$ (число успехов — попаданий)
• $n-k=3$ (число неудач — промахов)

Подставляем значения в формулу: $P_9(6) = C_9^6 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{9-6} = C_9^6 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_9^6$. Используя свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$, получаем: $C_9^6 = C_9^{9-6} = C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Теперь подставим все вычисленные значения в формулу для вероятности: $P_9(6) = 84 \cdot \frac{3^6}{4^6} \cdot \frac{1^3}{4^3} = 84 \cdot \frac{729}{4096} \cdot \frac{1}{64}$.

Объединим все в одну дробь: $P_9(6) = \frac{84 \cdot 729}{4096 \cdot 64} = \frac{61236}{262144}$.

Знаменатель можно представить как $4^6 \cdot 4^3 = 4^9 = 262144$.

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 4: $P_9(6) = \frac{61236 \div 4}{262144 \div 4} = \frac{15309}{65536}$.

Так как знаменатель $65536 = 2^{16}$ является степенью двойки, а числитель $15309$ — нечётное число, то дальнейшее сокращение дроби невозможно.

Ответ: $\frac{15309}{65536}$.