Номер 165, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. В ящике лежат 8 синих и 5 зелёных шаров. Из ящика шесть раз вынимают по одному шару и кладут назад перед следующим испытанием. Найдите вероятность того, что из пяти вынутых шаров синий шар:

1) вынимали два раза;

2) вынимали не менее двух раз;

3) вынимали более трёх раз.

В ящике находится 8 синих и 5 зелёных шаров, всего $8 + 5 = 13$ шаров. Испытание состоит в извлечении одного шара. Так как шар каждый раз возвращают обратно, все испытания являются независимыми. Вероятность вынуть синий шар (событие "успех") в одном испытании равна $p = \frac{8}{13}$. Вероятность вынуть зелёный шар (событие "неудача") равна $q = 1 - p = 1 - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}$.

По условию, шар вынимают 5 раз (упоминание шести раз, вероятно, опечатка, так как вопрос задается про пять вынутых шаров). Мы имеем дело с серией из $n=5$ независимых испытаний, поэтому для решения будем использовать формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

1) вынимали два раза
Нужно найти вероятность того, что из 5 испытаний синий шар вынули ровно $k=2$ раза.
$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{8}{13})^2 \cdot (\frac{5}{13})^{5-2} = \frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{8^2}{13^2} \cdot \frac{5^3}{13^3}$
$P_5(2) = 10 \cdot \frac{64}{169} \cdot \frac{125}{2197} = \frac{10 \cdot 64 \cdot 125}{13^5} = \frac{80000}{371293}$
Ответ: $\frac{80000}{371293}$

2) вынимали не менее двух раз
Это означает, что синий шар вынули 2, 3, 4 или 5 раз. Проще найти вероятность противоположного события (синий шар вынули 0 или 1 раз) и вычесть её из 1.
$P(k \ge 2) = 1 - (P_5(0) + P_5(1))$
Найдём $P_5(0)$ и $P_5(1)$:
$P_5(0) = C_5^0 (\frac{8}{13})^0 (\frac{5}{13})^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5^5}{13^5} = \frac{3125}{371293}$
$P_5(1) = C_5^1 (\frac{8}{13})^1 (\frac{5}{13})^4 = 5 \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{5^4}{13^4} = \frac{40 \cdot 625}{13^5} = \frac{25000}{371293}$
Теперь найдём искомую вероятность:
$P(k \ge 2) = 1 - (\frac{3125}{371293} + \frac{25000}{371293}) = 1 - \frac{28125}{371293} = \frac{371293 - 28125}{371293} = \frac{343168}{371293}$
Ответ: $\frac{343168}{371293}$

3) вынимали более трёх раз
Это означает, что синий шар вынули 4 или 5 раз. Нужно найти сумму вероятностей $P_5(4) + P_5(5)$.
$P_5(4) = C_5^4 (\frac{8}{13})^4 (\frac{5}{13})^1 = 5 \cdot \frac{8^4}{13^4} \cdot \frac{5}{13} = \frac{25 \cdot 4096}{13^5} = \frac{102400}{371293}$
$P_5(5) = C_5^5 (\frac{8}{13})^5 (\frac{5}{13})^0 = 1 \cdot \frac{8^5}{13^5} \cdot 1 = \frac{32768}{371293}$
Суммируем вероятности:
$P(k > 3) = P_5(4) + P_5(5) = \frac{102400}{371293} + \frac{32768}{371293} = \frac{135168}{371293}$
Ответ: $\frac{135168}{371293}$