Номер 161, страница 96 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Два ученика независимо друг от друга решают одну задачу. Первый ученик может решить эту задачу с вероятностью 0,7, а второй — 0,6. Найдите вероятность того, что:

1) оба ученика решат задачу;

2) ни один из учеников не решит задачу;

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

4) только один из учеников решит задачу.

Для решения задачи введем обозначения событий:

Событие $A$ – первый ученик решит задачу.

Событие $B$ – второй ученик решит задачу.

По условию, вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,7$

$P(B) = 0,6$

Также найдем вероятности противоположных событий (ученик не решит задачу):

Событие $\bar{A}$ – первый ученик не решит задачу. Его вероятность: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Событие $\bar{B}$ – второй ученик не решит задачу. Его вероятность: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$.

Так как ученики решают задачу независимо друг от друга, то все указанные события являются независимыми.

1) оба ученика решат задачу;

Это событие означает одновременное наступление событий $A$ и $B$. Для независимых событий вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,7 \times 0,6 = 0,42$

Ответ: 0,42

2) ни один из учеников не решит задачу;

Это событие означает одновременное наступление событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$. Вероятность этого события также равна произведению вероятностей, так как события независимы:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$

Ответ: 0,12

3) хотя бы один из учеников решит задачу;

Событие "хотя бы один ученик решит задачу" является противоположным событию "ни один из учеников не решит задачу". Поэтому его вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность того, что никто не решит задачу (найденную в пункте 2):

$P(\text{хотя бы один решит}) = 1 - P(\text{ни один не решит}) = 1 - 0,12 = 0,88$

Ответ: 0,88

4) только один из учеников решит задачу.

Это событие означает, что произойдет одна из двух взаимоисключающих ситуаций:

1. Первый ученик решит ($A$), а второй не решит ($\bar{B}$). Вероятность этого: $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,7 \times 0,4 = 0,28$.

2. Первый ученик не решит ($\bar{A}$), а второй решит ($B$). Вероятность этого: $P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

$P(\text{только один}) = 0,28 + 0,18 = 0,46$

Ответ: 0,46