Страница 46 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Решите неравенство $f'(x) \ge g'(x)$, если $f(x) = 2x^2 - 3x + 9$,

$g(x) = \ln \left(-\frac{x}{5}\right)$.

Для решения неравенства $f'(x) \geq g'(x)$ сначала необходимо найти производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

1. Найдем производную функции $f(x) = 2x^2 - 3x + 9$.

Используя правило дифференцирования степенной функции, получаем:

$f'(x) = (2x^2)' - (3x)' + (9)' = 2 \cdot 2x - 3 + 0 = 4x - 3$.

2. Найдем производную функции $g(x) = \ln(-\frac{x}{5})$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:

$-\frac{x}{5} > 0$

Умножим обе части неравенства на $-5$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Таким образом, решение неравенства необходимо искать при $x \in (-\infty, 0)$.

Теперь найдем производную $g'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:

$g'(x) = \frac{1}{-\frac{x}{5}} \cdot \left(-\frac{x}{5}\right)' = -\frac{5}{x} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{x}$.

3. Составим и решим исходное неравенство, подставив в него найденные производные:

$f'(x) \geq g'(x)$

$4x - 3 \geq \frac{1}{x}$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$4x - 3 - \frac{1}{x} \geq 0$

$\frac{4x^2 - 3x - 1}{x} \geq 0$

4. Для решения этого рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя $4x^2 - 3x - 1 = 0$ найдем через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Корень знаменателя: $x = 0$.

Нанесем найденные точки $(-\frac{1}{4}, 0, 1)$ на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{4x^2 - 3x - 1}{x}$ на полученных интервалах. Так как неравенство нестрогое, корни числителя включаются в решение. Корень знаменателя всегда исключается.

Решением неравенства $\frac{4x^2 - 3x - 1}{x} \geq 0$ является объединение интервалов, где выражение положительно или равно нулю: $x \in [-\frac{1}{4}, 0) \cup [1, \infty)$.

5. На последнем шаге необходимо учесть область допустимых значений $x < 0$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\left([-\frac{1}{4}, 0) \cup [1, \infty)\right) \cap (-\infty, 0) = [-\frac{1}{4}, 0)$.

Ответ: $[-\frac{1}{4}, 0)$.

60. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x \ln(x^2 + 2x - 7)$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Таким образом, нам нужно найти $f'(x_0)$.

Заданная функция: $f(x) = x \ln(x^2 + 2x - 7)$.

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x$ и $v(x) = \ln(x^2 + 2x - 7)$.

1. Находим производную $u'(x)$:$u'(x) = (x)' = 1$.

2. Находим производную $v'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$:$g(x) = x^2 + 2x - 7$, следовательно, $g'(x) = 2x + 2$.$v'(x) = (\ln(x^2 + 2x - 7))' = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x - 7}$.

3. Собираем производную $f'(x)$:$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot \ln(x^2 + 2x - 7) + x \cdot \frac{2x + 2}{x^2 + 2x - 7}$.$f'(x) = \ln(x^2 + 2x - 7) + \frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 2x - 7}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:$f'(2) = \ln(2^2 + 2 \cdot 2 - 7) + \frac{2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2}{2^2 + 2 \cdot 2 - 7}$.

Выполним вычисления:$f'(2) = \ln(4 + 4 - 7) + \frac{2 \cdot 4 + 4}{4 + 4 - 7}$.$f'(2) = \ln(1) + \frac{8 + 4}{1}$.$f'(2) = \ln(1) + 12$.

Поскольку $\ln(1) = 0$, получаем:$f'(2) = 0 + 12 = 12$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 2$ равен 12. Ответ: 12

61. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = x^2e^{2x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$;

2) $f(x) = e^{x^2-3x-4}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$;

3) $f(x) = 3^{2x+3}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$;

4) $f(x) = \ln(3-2x)$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$;

5) $f(x) = \ln(x^2-4x+5)$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в этой же точке.

1) $f(x) = x^2e^{2x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^2 \cdot e^{2 \cdot 1} = e^2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2)'e^{2x} + x^2(e^{2x})' = 2xe^{2x} + x^2(2e^{2x}) = 2xe^{2x}(1+x)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2 \cdot 1 \cdot e^{2 \cdot 1}(1+1) = 2e^2 \cdot 2 = 4e^2$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=e^2$ и $f'(1)=4e^2$ в уравнение касательной:

$y = e^2 + 4e^2(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:

$y = e^2 + 4e^2x - 4e^2$

$y = 4e^2x - 3e^2$.

Ответ: $y = 4e^2x - 3e^2$.

2) $f(x) = e^{x^2-3x-4}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = e^{(-1)^2-3(-1)-4} = e^{1+3-4} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$f'(x) = e^{x^2-3x-4} \cdot (x^2-3x-4)' = e^{x^2-3x-4} \cdot (2x-3)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = e^{(-1)^2-3(-1)-4} \cdot (2(-1)-3) = e^0 \cdot (-2-3) = 1 \cdot (-5) = -5$.

4. Подставим найденные значения $x_0=-1$, $f(-1)=1$ и $f'(-1)=-5$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-5)(x - (-1))$.

5. Упростим уравнение:

$y = 1 - 5(x+1) = 1 - 5x - 5 = -5x - 4$.

Ответ: $y = -5x - 4$.

3) $f(x) = 3^{2x+3}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = 3^{2(-1)+3} = 3^{-2+3} = 3^1 = 3$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = 3^{2x+3} \cdot \ln(3) \cdot (2x+3)' = 3^{2x+3} \cdot \ln(3) \cdot 2 = 2 \ln(3) \cdot 3^{2x+3}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 2 \ln(3) \cdot 3^{2(-1)+3} = 2 \ln(3) \cdot 3^1 = 6 \ln(3)$.

4. Подставим найденные значения $x_0=-1$, $f(-1)=3$ и $f'(-1)=6\ln(3)$ в уравнение касательной:

$y = 3 + 6 \ln(3) (x - (-1))$.

5. Упростим уравнение:

$y = 3 + 6 \ln(3) (x+1) = 3 + (6 \ln 3)x + 6 \ln 3$.

Ответ: $y = (6 \ln 3)x + 3 + 6 \ln 3$.

4) $f(x) = \ln(3-2x)$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = \ln(3-2 \cdot 1) = \ln(1) = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:

$f'(x) = \frac{1}{3-2x} \cdot (3-2x)' = \frac{-2}{3-2x}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{-2}{3-2 \cdot 1} = \frac{-2}{1} = -2$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=-2$ в уравнение касательной:

$y = 0 + (-2)(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:

$y = -2x + 2$.

Ответ: $y = -2x + 2$.

5) $f(x) = \ln(x^2-4x+5)$ в точке его пересечения с осью абсцисс

1. Сначала найдем точку пересечения графика с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию к нулю:

$f(x) = 0 \Rightarrow \ln(x^2-4x+5) = 0$.

По определению логарифма, это означает, что его аргумент равен 1:

$x^2-4x+5 = 1$

$x^2-4x+4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

Отсюда $x_0 = 2$. Таким образом, точка касания имеет абсциссу $x_0=2$ и ординату $f(2)=0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{x^2-4x+5} \cdot (x^2-4x+5)' = \frac{2x-4}{x^2-4x+5}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{2 \cdot 2 - 4}{2^2 - 4 \cdot 2 + 5} = \frac{4-4}{4-8+5} = \frac{0}{1} = 0$.

4. Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(2)=0$ и $f'(2)=0$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 0 \cdot (x-2)$.

5. Упростим уравнение:

$y = 0$.

Ответ: $y = 0$.

62. Найдите абсциссу точки графика функции $f(x) = \ln (3x - 2)$, в которой касательная к нему наклонена к оси абсцисс под углом $\alpha = 45^{\circ}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $k = f'(x_0)$. Также угловой коэффициент связан с углом наклона $\alpha$ касательной к положительному направлению оси абсцисс соотношением $k = \tan(\alpha)$.

Таким образом, чтобы найти искомую абсциссу, необходимо решить уравнение $f'(x) = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, функция $f(x) = \ln(3x - 2)$, а угол наклона $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдем тангенс угла наклона:

$\tan(45^\circ) = 1$

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u'$.

$f'(x) = (\ln(3x - 2))' = \frac{1}{3x - 2} \cdot (3x - 2)' = \frac{1}{3x - 2} \cdot 3 = \frac{3}{3x - 2}$

3. Приравняем производную к тангенсу угла наклона и решим полученное уравнение:

$f'(x) = 1$

$\frac{3}{3x - 2} = 1$

$3 = 3x - 2$

$3x = 5$

$x = \frac{5}{3}$

Проверим, входит ли найденное значение в область определения функции. Для функции $f(x) = \ln(3x - 2)$ должно выполняться условие $3x - 2 > 0$, то есть $x > \frac{2}{3}$. Так как $\frac{5}{3} > \frac{2}{3}$, найденное значение является решением.

Ответ: $\frac{5}{3}$

63. Найдите уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = e^x$, которая параллельна прямой $y = ex + 5$;

2) $f(x) = e^{4x+1}$, которая параллельна прямой $y = 4x - 10$.

1) f(x) = e^x, которая параллельна прямой y = ex + 5;

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$. Условие параллельности касательной и прямой $y = ex + 5$ означает, что их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой равен $e$. Следовательно, нам нужно найти такую точку $x_0$, в которой $f'(x_0) = e$.

Находим производную функции $f(x) = e^x$:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

Решаем уравнение $f'(x_0) = e$:
$e^{x_0} = e$.
Так как $e = e^1$, получаем $x_0 = 1$.

Находим ординату точки касания, подставляя $x_0 = 1$ в исходную функцию:
$y_0 = f(1) = e^1 = e$.
Точка касания имеет координаты $(1; e)$.

Теперь подставляем координаты точки касания $(1; e)$ и угловой коэффициент $k=e$ в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = e + e(x - 1)$
$y = e + ex - e$
$y = ex$.

Ответ: $y = ex$.

2) f(x) = e^4x+1, которая параллельна прямой y = 4x - 10.

Касательная параллельна прямой $y = 4x - 10$, следовательно, их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой равен $4$. Таким образом, ищем точку $x_0$, для которой $f'(x_0) = 4$.

Находим производную функции $f(x) = e^{4x+1}$ по правилу дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{4x+1})' = e^{4x+1} \cdot (4x+1)' = e^{4x+1} \cdot 4 = 4e^{4x+1}$.

Решаем уравнение $f'(x_0) = 4$:
$4e^{4x_0+1} = 4$
$e^{4x_0+1} = 1$.
Так как $e^0 = 1$, получаем, что показатель степени должен быть равен нулю:
$4x_0 + 1 = 0$
$4x_0 = -1$
$x_0 = -1/4$.

Находим ординату точки касания, подставляя $x_0 = -1/4$ в исходную функцию:
$y_0 = f(-1/4) = e^{4(-1/4)+1} = e^{-1+1} = e^0 = 1$.
Точка касания имеет координаты $(-1/4; 1)$.

Подставляем координаты точки касания $(-1/4; 1)$ и угловой коэффициент $k=4$ в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 1 + 4(x - (-1/4))$
$y = 1 + 4(x + 1/4)$
$y = 1 + 4x + 1$
$y = 4x + 2$.

Ответ: $y = 4x + 2$.

64. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x) = (2^x - 5)(2^x - 3)$.

Уравнение горизонтальной касательной имеет вид $y = c$, где $c$ - константа. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) горизонтальной прямой равен нулю. Значение производной функции $f'(x)$ в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Следовательно, для нахождения точки, в которой касательная горизонтальна, необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

Дана функция $f(x) = (2^x - 5)(2^x - 3)$.

Для удобства дифференцирования раскроем скобки:

$f(x) = 2^x \cdot 2^x - 3 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x + 15 = (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x + 15 = 2^{2x} - 8 \cdot 2^x + 15$.

Теперь найдём производную функции $f(x)$. Используем формулу производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = (2^{2x})' - (8 \cdot 2^x)' + (15)' = 2^{2x} \ln(2) \cdot (2x)' - 8 \cdot 2^x \ln(2) + 0 = 2^{2x} \ln(2) \cdot 2 - 8 \cdot 2^x \ln(2)$.

$f'(x) = 2 \ln(2) \cdot 2^{2x} - 8 \ln(2) \cdot 2^x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$2 \ln(2) \cdot 2^{2x} - 8 \ln(2) \cdot 2^x = 0$.

Вынесем общий множитель $2 \ln(2) \cdot 2^x$ за скобки:

$2 \ln(2) \cdot 2^x (2^x - 4) = 0$.

Так как $2 \ln(2) \neq 0$ и $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то равенство возможно только при условии:

$2^x - 4 = 0$

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_0 = 2$.

Мы нашли абсциссу точки, в которой касательная горизонтальна. Теперь найдём ординату этой точки, подставив $x_0 = 2$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = f(2) = (2^2 - 5)(2^2 - 3) = (4 - 5)(4 - 3) = (-1)(1) = -1$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2, -1)$. Уравнение горизонтальной прямой, проходящей через эту точку, имеет вид $y = y_0$.

Следовательно, искомое уравнение горизонтальной касательной: $y = -1$.

Ответ: $y = -1$

65. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = e^x - xe;$

2) $f(x) = e^{x^2-8x+3};$

3) $f(x) = e^{x^4};$

4) $f(x) = (3x+2)e^{3x};$

5) $f(x) = (6-x)e^{6-x};$

6) $f(x) = x^2e^{-\frac{x}{2}};$

7) $f(x) = (x^2+2x-7)e^{x-7};$

8) $f(x) = \frac{e^x}{4-x};$

9) $f(x) = x \ln x - 2x;$

10) $f(x) = x^5 \ln x;$

11) $f(x) = x^2 \log_2 x;$

12) $f(x) = \frac{x^2}{\ln x}.$

1) $f(x) = e^x - xe$
1. Находим область определения функции. Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную функции: $f'(x) = (e^x - xe)' = (e^x)' - (xe)' = e^x - e$.
3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow e^x - e = 0 \Rightarrow e^x = e \Rightarrow x = 1$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка разбивает область определения:
- При $x < 1$, $f'(x) = e^x - e < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x > 1$, $f'(x) = e^x - e > 0$, следовательно, функция возрастает.
5. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 1$.

2) $f(x) = e^{x^2-8x+3}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{x^2-8x+3})' = e^{x^2-8x+3} \cdot (x^2-8x+3)' = (2x-8)e^{x^2-8x+3}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$(2x-8)e^{x^2-8x+3} = 0$.
Так как $e^{x^2-8x+3} > 0$ для любого $x$, то $2x-8 = 0 \Rightarrow x=4$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $(2x-8)$.
- При $x < 4$, $2x-8 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 4$, $2x-8 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = 4$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 4$.

3) $f(x) = e^{x^4}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную: $f'(x) = (e^{x^4})' = e^{x^4} \cdot (x^4)' = 4x^3 e^{x^4}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$4x^3 e^{x^4} = 0$.
Так как $e^{x^4} > 0$, то $4x^3 = 0 \Rightarrow x=0$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $x^3$.
- При $x < 0$, $x^3 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 0$, $x^3 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$.

4) $f(x) = (3x+2)e^{3x}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (3x+2)'e^{3x} + (3x+2)(e^{3x})' = 3e^{3x} + (3x+2) \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(3 + 3(3x+2)) = e^{3x}(3+9x+6) = (9x+9)e^{3x} = 9(x+1)e^{3x}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$9(x+1)e^{3x} = 0$.
Так как $e^{3x} > 0$, то $x+1 = 0 \Rightarrow x=-1$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(x+1)$.
- При $x < -1$, $x+1 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > -1$, $x+1 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, \infty)$; точка минимума $x_{min} = -1$.

5) $f(x) = (6-x)e^{6-x}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (6-x)'e^{6-x} + (6-x)(e^{6-x})' = -1 \cdot e^{6-x} + (6-x) \cdot e^{6-x} \cdot (-1) = -e^{6-x} - (6-x)e^{6-x} = e^{6-x}(-1 - (6-x)) = e^{6-x}(-1-6+x) = (x-7)e^{6-x}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$(x-7)e^{6-x} = 0$.
Так как $e^{6-x} > 0$, то $x-7 = 0 \Rightarrow x=7$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(x-7)$.
- При $x < 7$, $x-7 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 7$, $x-7 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = 7$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 7]$ и возрастает на промежутке $[7, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 7$.

6) $f(x) = x^2e^{-\frac{x}{2}}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (x^2)'e^{-\frac{x}{2}} + x^2(e^{-\frac{x}{2}})' = 2xe^{-\frac{x}{2}} + x^2e^{-\frac{x}{2}}(-\frac{1}{2}) = e^{-\frac{x}{2}}(2x - \frac{1}{2}x^2) = \frac{1}{2}x(4-x)e^{-\frac{x}{2}}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{1}{2}x(4-x)e^{-\frac{x}{2}} = 0$.
Так как $e^{-\frac{x}{2}} > 0$, то $x(4-x) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=4$.
4. Исследуем знак производной, который определяется знаком параболы $y=x(4-x)$, ветви которой направлены вниз.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 4)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (4, \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. В точке $x = 4$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4, \infty)$, возрастает на промежутке $[0, 4]$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 4$.

7) $f(x) = (x^2+2x-7)e^{x-7}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (x^2+2x-7)'e^{x-7} + (x^2+2x-7)(e^{x-7})' = (2x+2)e^{x-7} + (x^2+2x-7)e^{x-7} = e^{x-7}(2x+2+x^2+2x-7) = (x^2+4x-5)e^{x-7}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$(x^2+4x-5)e^{x-7} = 0$.
Так как $e^{x-7} > 0$, решаем $x^2+4x-5=0$. Корни уравнения: $x_1=-5, x_2=1$.
4. Исследуем знак производной, который определяется знаком параболы $y=x^2+4x-5$, ветви которой направлены вверх.
- При $x \in (-\infty, -5)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-5, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = -5$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -5]$ и $[1, \infty)$, убывает на промежутке $[-5, 1]$; точка максимума $x_{max} = -5$, точка минимума $x_{min} = 1$.

8) $f(x) = \frac{e^x}{4-x}$
1. Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, $4-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$. $D(f) = (-\infty, 4) \cup (4, \infty)$.
2. Находим производную по правилу частного:
$f'(x) = \frac{(e^x)'(4-x) - e^x(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{e^x(4-x) - e^x(-1)}{(4-x)^2} = \frac{4e^x - xe^x + e^x}{(4-x)^2} = \frac{e^x(5-x)}{(4-x)^2}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{e^x(5-x)}{(4-x)^2} = 0$.
Так как $e^x > 0$ и $(4-x)^2 > 0$ в области определения, то $5-x = 0 \Rightarrow x=5$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 4)$, $(4, 5)$, $(5, \infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(5-x)$.
- При $x \in (-\infty, 4)$, $5-x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (4, 5)$, $5-x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (5, \infty)$, $5-x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
5. В точке $x = 5$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 4)$ и $(4, 5]$, убывает на промежутке $[5, \infty)$; точка максимума $x_{max} = 5$.

9) $f(x) = x\ln x - 2x$
1. Область определения: аргумент логарифма должен быть положителен, $x > 0$. $D(f) = (0, \infty)$.
2. Находим производную: $f'(x) = (x\ln x)' - (2x)' = (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) - 2 = \ln x + 1 - 2 = \ln x - 1$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\ln x - 1 = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, e)$ и $(e, \infty)$.
- При $x \in (0, e)$, $\ln x < 1$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e, \infty)$, $\ln x > 1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = e$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e]$ и возрастает на промежутке $[e, \infty)$; точка минимума $x_{min} = e$.

10) $f(x) = x^5\ln x$
1. Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (x^5)'\ln x + x^5(\ln x)' = 5x^4\ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x} = 5x^4\ln x + x^4 = x^4(5\ln x + 1)$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$x^4(5\ln x + 1) = 0$.
Так как $x > 0$, то $x^4 \neq 0$. Решаем $5\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{1}{5} \Rightarrow x = e^{-1/5}$.
4. Исследуем знак производной. Так как $x^4 > 0$, знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(5\ln x + 1)$.
- При $x \in (0, e^{-1/5})$, $\ln x < -1/5$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{-1/5}, \infty)$, $\ln x > -1/5$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = e^{-1/5}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e^{-1/5}]$ и возрастает на промежутке $[e^{-1/5}, \infty)$; точка минимума $x_{min} = e^{-1/5}$.

11) $f(x) = x^2\log_2 x$
1. Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0, \infty)$.
2. Преобразуем функцию: $f(x) = x^2 \frac{\ln x}{\ln 2}$. Находим производную:
$f'(x) = \frac{1}{\ln 2}(x^2 \ln x)' = \frac{1}{\ln 2}((x^2)'\ln x + x^2(\ln x)') = \frac{1}{\ln 2}(2x\ln x + x^2 \frac{1}{x}) = \frac{1}{\ln 2}(2x\ln x + x) = \frac{x(2\ln x + 1)}{\ln 2}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{x(2\ln x + 1)}{\ln 2} = 0$.
Так как $x>0$ и $\ln 2 > 0$, решаем $2\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2}$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(2\ln x + 1)$.
- При $x \in (0, e^{-1/2})$, $\ln x < -1/2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{-1/2}, \infty)$, $\ln x > -1/2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = e^{-1/2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e^{-1/2}]$ и возрастает на промежутке $[e^{-1/2}, \infty)$; точка минимума $x_{min} = e^{-1/2}$.

12) $f(x) = \frac{x^2}{\ln x}$
1. Область определения: $x > 0$ и $\ln x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(f) = (0, 1) \cup (1, \infty)$.
2. Находим производную по правилу частного:
$f'(x) = \frac{(x^2)'\ln x - x^2(\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{2x\ln x - x^2 \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{2x\ln x - x}{(\ln x)^2} = \frac{x(2\ln x - 1)}{(\ln x)^2}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{x(2\ln x - 1)}{(\ln x)^2} = 0$.
Так как $x > 0$ и $(\ln x)^2 > 0$ в области определения, решаем $2\ln x - 1 = 0 \Rightarrow \ln x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.
4. Исследуем знак производной, который определяется знаком $(2\ln x - 1)$.
- При $x \in (0, 1)$, $\ln x < 0$, $2\ln x - 1 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, \sqrt{e})$, $0 < \ln x < 1/2$, $2\ln x - 1 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (\sqrt{e}, \infty)$, $\ln x > 1/2$, $2\ln x - 1 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = \sqrt{e}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутках $(0, 1)$ и $(1, \sqrt{e}]$, возрастает на промежутке $[\sqrt{e}, \infty)$; точка минимума $x_{min} = \sqrt{e}$.

66. Найдите наибольшее значение функции:

1) $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x^2-6x+8}$;

2) $f(x) = \log_3(56 + 10x - x^2) - 10.$

1) Дана функция $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x^2-6x+8}$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{4}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что наибольшее значение функции $f(x)$ достигается при наименьшем значении ее показателя, то есть выражения $g(x) = x^2-6x+8$.
Функция $g(x) = x^2-6x+8$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, наименьшее значение эта функция принимает в своей вершине.
Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Теперь найдем наименьшее значение показателя, подставив $x_0 = 3$ в $g(x)$:
$g_{min} = g(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.
Наибольшее значение исходной функции $f(x)$ равно:
$f_{max} = \left(\frac{1}{4}\right)^{g_{min}} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$.
Ответ: 4.

2) Дана функция $f(x) = \log_3(56 + 10x - x^2) - 10$. Это логарифмическая функция с основанием $a=3$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что наибольшее значение функции $f(x)$ достигается при наибольшем значении ее аргумента (подлогарифмического выражения) $g(x) = 56 + 10x - x^2$.
Функция $g(x) = -x^2 + 10x + 56$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен. Следовательно, наибольшее значение эта функция принимает в своей вершине.
Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$.
Теперь найдем наибольшее значение аргумента, подставив $x_0 = 5$ в $g(x)$:
$g_{max} = g(5) = -(5)^2 + 10 \cdot 5 + 56 = -25 + 50 + 56 = 81$.
Наибольшее значение исходной функции $f(x)$ равно:
$f_{max} = \log_3(g_{max}) - 10 = \log_3(81) - 10$.
Поскольку $81 = 3^4$, то $\log_3(81) = 4$.
$f_{max} = 4 - 10 = -6$.
Ответ: -6.