Номер 65, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

65. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = e^x - xe;$

2) $f(x) = e^{x^2-8x+3};$

3) $f(x) = e^{x^4};$

4) $f(x) = (3x+2)e^{3x};$

5) $f(x) = (6-x)e^{6-x};$

6) $f(x) = x^2e^{-\frac{x}{2}};$

7) $f(x) = (x^2+2x-7)e^{x-7};$

8) $f(x) = \frac{e^x}{4-x};$

9) $f(x) = x \ln x - 2x;$

10) $f(x) = x^5 \ln x;$

11) $f(x) = x^2 \log_2 x;$

12) $f(x) = \frac{x^2}{\ln x}.$

1) $f(x) = e^x - xe$
1. Находим область определения функции. Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную функции: $f'(x) = (e^x - xe)' = (e^x)' - (xe)' = e^x - e$.
3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow e^x - e = 0 \Rightarrow e^x = e \Rightarrow x = 1$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка разбивает область определения:
- При $x < 1$, $f'(x) = e^x - e < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x > 1$, $f'(x) = e^x - e > 0$, следовательно, функция возрастает.
5. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 1$.

2) $f(x) = e^{x^2-8x+3}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{x^2-8x+3})' = e^{x^2-8x+3} \cdot (x^2-8x+3)' = (2x-8)e^{x^2-8x+3}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$(2x-8)e^{x^2-8x+3} = 0$.
Так как $e^{x^2-8x+3} > 0$ для любого $x$, то $2x-8 = 0 \Rightarrow x=4$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $(2x-8)$.
- При $x < 4$, $2x-8 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 4$, $2x-8 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = 4$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 4$.

3) $f(x) = e^{x^4}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную: $f'(x) = (e^{x^4})' = e^{x^4} \cdot (x^4)' = 4x^3 e^{x^4}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$4x^3 e^{x^4} = 0$.
Так как $e^{x^4} > 0$, то $4x^3 = 0 \Rightarrow x=0$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $x^3$.
- При $x < 0$, $x^3 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 0$, $x^3 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$.

4) $f(x) = (3x+2)e^{3x}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (3x+2)'e^{3x} + (3x+2)(e^{3x})' = 3e^{3x} + (3x+2) \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(3 + 3(3x+2)) = e^{3x}(3+9x+6) = (9x+9)e^{3x} = 9(x+1)e^{3x}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$9(x+1)e^{3x} = 0$.
Так как $e^{3x} > 0$, то $x+1 = 0 \Rightarrow x=-1$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(x+1)$.
- При $x < -1$, $x+1 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > -1$, $x+1 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и возрастает на промежутке $[-1, \infty)$; точка минимума $x_{min} = -1$.

5) $f(x) = (6-x)e^{6-x}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (6-x)'e^{6-x} + (6-x)(e^{6-x})' = -1 \cdot e^{6-x} + (6-x) \cdot e^{6-x} \cdot (-1) = -e^{6-x} - (6-x)e^{6-x} = e^{6-x}(-1 - (6-x)) = e^{6-x}(-1-6+x) = (x-7)e^{6-x}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$(x-7)e^{6-x} = 0$.
Так как $e^{6-x} > 0$, то $x-7 = 0 \Rightarrow x=7$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(x-7)$.
- При $x < 7$, $x-7 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x > 7$, $x-7 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = 7$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 7]$ и возрастает на промежутке $[7, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 7$.

6) $f(x) = x^2e^{-\frac{x}{2}}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (x^2)'e^{-\frac{x}{2}} + x^2(e^{-\frac{x}{2}})' = 2xe^{-\frac{x}{2}} + x^2e^{-\frac{x}{2}}(-\frac{1}{2}) = e^{-\frac{x}{2}}(2x - \frac{1}{2}x^2) = \frac{1}{2}x(4-x)e^{-\frac{x}{2}}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{1}{2}x(4-x)e^{-\frac{x}{2}} = 0$.
Так как $e^{-\frac{x}{2}} > 0$, то $x(4-x) = 0 \Rightarrow x_1=0, x_2=4$.
4. Исследуем знак производной, который определяется знаком параболы $y=x(4-x)$, ветви которой направлены вниз.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 4)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (4, \infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
5. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. В точке $x = 4$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4, \infty)$, возрастает на промежутке $[0, 4]$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 4$.

7) $f(x) = (x^2+2x-7)e^{x-7}$
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (x^2+2x-7)'e^{x-7} + (x^2+2x-7)(e^{x-7})' = (2x+2)e^{x-7} + (x^2+2x-7)e^{x-7} = e^{x-7}(2x+2+x^2+2x-7) = (x^2+4x-5)e^{x-7}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$(x^2+4x-5)e^{x-7} = 0$.
Так как $e^{x-7} > 0$, решаем $x^2+4x-5=0$. Корни уравнения: $x_1=-5, x_2=1$.
4. Исследуем знак производной, который определяется знаком параболы $y=x^2+4x-5$, ветви которой направлены вверх.
- При $x \in (-\infty, -5)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-5, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = -5$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -5]$ и $[1, \infty)$, убывает на промежутке $[-5, 1]$; точка максимума $x_{max} = -5$, точка минимума $x_{min} = 1$.

8) $f(x) = \frac{e^x}{4-x}$
1. Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, $4-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$. $D(f) = (-\infty, 4) \cup (4, \infty)$.
2. Находим производную по правилу частного:
$f'(x) = \frac{(e^x)'(4-x) - e^x(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{e^x(4-x) - e^x(-1)}{(4-x)^2} = \frac{4e^x - xe^x + e^x}{(4-x)^2} = \frac{e^x(5-x)}{(4-x)^2}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{e^x(5-x)}{(4-x)^2} = 0$.
Так как $e^x > 0$ и $(4-x)^2 > 0$ в области определения, то $5-x = 0 \Rightarrow x=5$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 4)$, $(4, 5)$, $(5, \infty)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(5-x)$.
- При $x \in (-\infty, 4)$, $5-x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (4, 5)$, $5-x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (5, \infty)$, $5-x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
5. В точке $x = 5$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 4)$ и $(4, 5]$, убывает на промежутке $[5, \infty)$; точка максимума $x_{max} = 5$.

9) $f(x) = x\ln x - 2x$
1. Область определения: аргумент логарифма должен быть положителен, $x > 0$. $D(f) = (0, \infty)$.
2. Находим производную: $f'(x) = (x\ln x)' - (2x)' = (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) - 2 = \ln x + 1 - 2 = \ln x - 1$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\ln x - 1 = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, e)$ и $(e, \infty)$.
- При $x \in (0, e)$, $\ln x < 1$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e, \infty)$, $\ln x > 1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = e$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e]$ и возрастает на промежутке $[e, \infty)$; точка минимума $x_{min} = e$.

10) $f(x) = x^5\ln x$
1. Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0, \infty)$.
2. Находим производную по правилу произведения:
$f'(x) = (x^5)'\ln x + x^5(\ln x)' = 5x^4\ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x} = 5x^4\ln x + x^4 = x^4(5\ln x + 1)$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$x^4(5\ln x + 1) = 0$.
Так как $x > 0$, то $x^4 \neq 0$. Решаем $5\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{1}{5} \Rightarrow x = e^{-1/5}$.
4. Исследуем знак производной. Так как $x^4 > 0$, знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(5\ln x + 1)$.
- При $x \in (0, e^{-1/5})$, $\ln x < -1/5$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{-1/5}, \infty)$, $\ln x > -1/5$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = e^{-1/5}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e^{-1/5}]$ и возрастает на промежутке $[e^{-1/5}, \infty)$; точка минимума $x_{min} = e^{-1/5}$.

11) $f(x) = x^2\log_2 x$
1. Область определения: $x > 0$. $D(f) = (0, \infty)$.
2. Преобразуем функцию: $f(x) = x^2 \frac{\ln x}{\ln 2}$. Находим производную:
$f'(x) = \frac{1}{\ln 2}(x^2 \ln x)' = \frac{1}{\ln 2}((x^2)'\ln x + x^2(\ln x)') = \frac{1}{\ln 2}(2x\ln x + x^2 \frac{1}{x}) = \frac{1}{\ln 2}(2x\ln x + x) = \frac{x(2\ln x + 1)}{\ln 2}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{x(2\ln x + 1)}{\ln 2} = 0$.
Так как $x>0$ и $\ln 2 > 0$, решаем $2\ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2}$.
4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(2\ln x + 1)$.
- При $x \in (0, e^{-1/2})$, $\ln x < -1/2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (e^{-1/2}, \infty)$, $\ln x > -1/2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = e^{-1/2}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутке $(0, e^{-1/2}]$ и возрастает на промежутке $[e^{-1/2}, \infty)$; точка минимума $x_{min} = e^{-1/2}$.

12) $f(x) = \frac{x^2}{\ln x}$
1. Область определения: $x > 0$ и $\ln x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(f) = (0, 1) \cup (1, \infty)$.
2. Находим производную по правилу частного:
$f'(x) = \frac{(x^2)'\ln x - x^2(\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{2x\ln x - x^2 \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{2x\ln x - x}{(\ln x)^2} = \frac{x(2\ln x - 1)}{(\ln x)^2}$.
3. Находим критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{x(2\ln x - 1)}{(\ln x)^2} = 0$.
Так как $x > 0$ и $(\ln x)^2 > 0$ в области определения, решаем $2\ln x - 1 = 0 \Rightarrow \ln x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{1/2} = \sqrt{e}$.
4. Исследуем знак производной, который определяется знаком $(2\ln x - 1)$.
- При $x \in (0, 1)$, $\ln x < 0$, $2\ln x - 1 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1, \sqrt{e})$, $0 < \ln x < 1/2$, $2\ln x - 1 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (\sqrt{e}, \infty)$, $\ln x > 1/2$, $2\ln x - 1 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x = \sqrt{e}$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: функция убывает на промежутках $(0, 1)$ и $(1, \sqrt{e}]$, возрастает на промежутке $[\sqrt{e}, \infty)$; точка минимума $x_{min} = \sqrt{e}$.