Номер 70, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. При каких значениях $a$ функция $f(x) = 2^{2x+1} - 2^a x \ln 2 + 8x \ln 2$ возрастает на множестве действительных чисел?

Для того чтобы функция $f(x)$ возрастала на множестве действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы её производная $f'(x)$ была неотрицательной для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \ge 0$.

Заданная функция:

$f(x) = 2^{2x+1} - 2^a x \ln 2 + 8x \ln 2$

Найдем её производную $f'(x)$. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования:

$(b^{u(x)})' = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)$

$(c \cdot x)' = c$

Производная первого слагаемого $ (2^{2x+1})' $:

$(2^{2x+1})' = 2^{2x+1} \ln 2 \cdot (2x+1)' = 2^{2x+1} \ln 2 \cdot 2 = 2^{2x+2} \ln 2$.

Производная второго слагаемого $ (-2^a x \ln 2)' $:

$(-2^a x \ln 2)' = -2^a \ln 2$.

Производная третьего слагаемого $ (8x \ln 2)' $:

$(8x \ln 2)' = 8 \ln 2$.

Соберем все вместе, чтобы получить производную функции $f(x)$:

$f'(x) = 2^{2x+2} \ln 2 - 2^a \ln 2 + 8 \ln 2$.

Вынесем общий множитель $\ln 2$ за скобки:

$f'(x) = \ln 2 (2^{2x+2} - 2^a + 8)$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \ge 0$:

$\ln 2 (2^{2x+2} - 2^a + 8) \ge 0$.

Так как $\ln 2 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $\ln 2$, не меняя знака неравенства:

$2^{2x+2} - 2^a + 8 \ge 0$.

Это неравенство должно выполняться для всех действительных значений $x$. Перенесем слагаемые, не зависящие от $x$, в правую часть:

$2^{2x+2} \ge 2^a - 8$.

Рассмотрим левую часть неравенства: $g(x) = 2^{2x+2}$. Это показательная функция. Поскольку основание $2 > 1$, функция является возрастающей. Область значений этой функции — все положительные числа, то есть $E(g) = (0, +\infty)$. Наименьшее значение, к которому стремится функция $g(x)$ (её инфимум), равно 0 (при $x \to -\infty$).

Для того чтобы неравенство $2^{2x+2} \ge 2^a - 8$ выполнялось для всех $x \in \mathbb{R}$, правая часть $2^a - 8$ должна быть меньше или равна наименьшему возможному значению левой части. Так как наименьшее значение левой части не достигается, но её инфимум равен 0, то правая часть должна быть меньше или равна этому инфимуму.

Следовательно, должно выполняться условие:

$2^a - 8 \le 0$.

Решим это неравенство относительно $a$:

$2^a \le 8$

Представим 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.

$2^a \le 2^3$.

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$a \le 3$.

Таким образом, функция возрастает на множестве действительных чисел при $a \le 3$.

Ответ: $a \in (-\infty, 3]$.