Номер 73, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Является ли функция $F(x) = |4 - x|$ первообразной функции $f(x) = -1$ на промежутке:

1) $(-2; 3)$;

2) $(-1; 5)$?

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

В данной задаче нам даны функции $F(x) = |4 - x|$ и $f(x) = -1$.

Сначала раскроем модуль в выражении для $F(x)$:

$F(x) = \begin{cases} 4 - x, & \text{если } 4 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 4 \\ -(4 - x) = x - 4, & \text{если } 4 - x < 0 \Rightarrow x > 4 \end{cases}$

Теперь найдем производную функции $F(x)$ на каждом из интервалов:

$F'(x) = \begin{cases} (4 - x)' = -1, & \text{если } x < 4 \\ (x - 4)' = 1, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

В точке $x = 4$ функция $F(x)$ имеет "излом" (вершину), и ее производная в этой точке не существует, так как производная слева ($-1$) не равна производной справа ($1$).

Теперь проверим заданные промежутки.

1) (-2; 3);

Промежуток $(-2; 3)$ полностью лежит в области, где $x < 4$. На этом промежутке, как мы нашли, производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = -1$. Это в точности совпадает с заданной функцией $f(x) = -1$. Так как равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из промежутка $(-2; 3)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: да, является.

2) (-1; 5)?

Промежуток $(-1; 5)$ содержит точку $x = 4$. В этой точке функция $F(x)$ не является дифференцируемой, то есть $F'(4)$ не существует. Поскольку первообразная по определению должна быть дифференцируема во всех точках заданного промежутка, $F(x)$ не может быть первообразной на промежутке $(-1; 5)$.

Кроме того, на части этого промежутка, а именно для $x \in (4; 5)$, производная $F'(x) = 1$, что не равно $f(x) = -1$. Условие $F'(x) = f(x)$ не выполняется на всем промежутке.

Ответ: нет, не является.