Номер 72, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Является ли функция $F(x) = 3 - \frac{2}{x^3}$ первообразной функции $f(x) = \frac{6}{x^4}$ на промежутке:

1) $(-\infty; 0)$;

2) $(-5; 5)$;

3) $[0; +\infty)$;

4) $(0; 7]$?

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется два условия:

1. Функция $F(x)$ дифференцируема на этом промежутке.
2. Производная функции $F(x)$ равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Сначала найдем производную функции $F(x) = 3 - \frac{2}{x^3}$. Для удобства дифференцирования представим ее в виде $F(x) = 3 - 2x^{-3}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = (3 - 2x^{-3})' = (3)' - (2x^{-3})' = 0 - 2 \cdot (-3)x^{-3-1} = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$.

Мы видим, что производная $F'(x)$ равна функции $f(x) = \frac{6}{x^4}$. Таким образом, второе условие выполнено.

Теперь проверим первое условие для каждого из предложенных промежутков. Функция $F(x) = 3 - \frac{2}{x^3}$ определена и дифференцируема для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как в этой точке происходит деление на ноль. Следовательно, $F(x)$ будет являться первообразной для $f(x)$ только на тех промежутках, которые не содержат точку $x=0$.

1) $(-\infty; 0)$
Этот промежуток не содержит точку $x=0$. На всем этом промежутке функция $F(x)$ дифференцируема и ее производная равна $f(x)$. Значит, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: да.

2) $(-5; 5)$
Этот промежуток содержит точку $x=0$, в которой функция $F(x)$ не определена и, следовательно, не является дифференцируемой. Значит, $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$ на всем промежутке $(-5; 5)$.
Ответ: нет.

3) $[0; +\infty)$
Этот промежуток содержит точку $x=0$ (включает ее). В этой точке функция $F(x)$ не определена и не дифференцируема. Значит, $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$ на всем промежутке $[0; +\infty)$.
Ответ: нет.

4) $(0; 7]$
Этот промежуток не содержит точку $x=0$. На всем этом промежутке функция $F(x)$ дифференцируема и ее производная равна $f(x)$. Значит, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: да.