Номер 77, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = (7 - 4x)^4;$

2) $f(x) = \sin 9x;$

3) $f(x) = \cos \frac{x}{8};$

4) $f(x) = \frac{2}{\sin^2 \frac{x}{4}}$ на промежутке $(0; 4\pi);$

5) $f(x) = \frac{10}{\sqrt{3 + 2x}}$ на промежутке $(-\frac{3}{2}; +\infty);$

6) $f(x) = \frac{1}{(3x - 2)^2}$ на промежутке $(\frac{2}{3}; +\infty);$

7) $f(x) = 6^{3x} \ln 6;$

8) $f(x) = e^{0,25x};$

9) $f(x) = e^{-x} + 2^x;$

10) $f(x) = 3^{7x} \ln 3 - e^{-2x};$

11) $f(x) = 16e^{4x-3} - 12e^{5-6x}.$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = (7-4x)^4$ воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции со сложным линейным аргументом $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
В данном случае, $n=4$, $k=-4$, $b=7$.
Подставляем эти значения в формулу:
$F(x) = \int (7-4x)^4 dx = \frac{1}{-4} \cdot \frac{(7-4x)^{4+1}}{4+1} + C = -\frac{1}{4} \cdot \frac{(7-4x)^5}{5} + C = -\frac{(7-4x)^5}{20} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{(7-4x)^5}{20} + C$.

2) Для функции $f(x) = \sin(9x)$ применим формулу $\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k} \cos(kx+b) + C$.
Здесь $k=9$ и $b=0$.
$F(x) = \int \sin(9x) dx = -\frac{1}{9} \cos(9x) + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{9} \cos(9x) + C$.

3) Для функции $f(x) = \cos(\frac{x}{8})$ применим формулу $\int \cos(kx+b) dx = \frac{1}{k} \sin(kx+b) + C$.
Здесь $k=\frac{1}{8}$ и $b=0$.
$F(x) = \int \cos(\frac{x}{8}) dx = \frac{1}{1/8} \sin(\frac{x}{8}) + C = 8\sin(\frac{x}{8}) + C$.
Ответ: $F(x) = 8\sin(\frac{x}{8}) + C$.

4) Для функции $f(x) = \frac{2}{\sin^2(\frac{x}{4})}$ используем формулу $\int \frac{dx}{\sin^2(kx+b)} = -\frac{1}{k} \cot(kx+b) + C$.
Здесь постоянный множитель равен 2, $k=\frac{1}{4}$ и $b=0$.
$F(x) = \int \frac{2}{\sin^2(\frac{x}{4})} dx = 2 \int \frac{dx}{\sin^2(\frac{x}{4})} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{1/4} \cot(\frac{x}{4})\right) + C = 2 \cdot (-4 \cot(\frac{x}{4})) + C = -8\cot(\frac{x}{4}) + C$.
Ответ: $F(x) = -8\cot(\frac{x}{4}) + C$.

5) Функцию $f(x) = \frac{10}{\sqrt{3+2x}}$ можно представить в виде $f(x) = 10(3+2x)^{-1/2}$. Воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь постоянный множитель равен 10, $n=-1/2$, $k=2$, $b=3$.
$F(x) = \int 10(3+2x)^{-1/2} dx = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(3+2x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 5 \cdot \frac{(3+2x)^{1/2}}{1/2} + C = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{3+2x} + C = 10\sqrt{3+2x} + C$.
Ответ: $F(x) = 10\sqrt{3+2x} + C$.

6) Функцию $f(x) = \frac{1}{(3x-2)^2}$ представим в виде $f(x) = (3x-2)^{-2}$ и воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $n=-2$, $k=3$, $b=-2$.
$F(x) = \int (3x-2)^{-2} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{3(3x-2)} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3(3x-2)} + C$.

7) Для функции $f(x) = 6^{3x} \ln 6$ используем формулу для интегрирования показательной функции $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$.
$F(x) = \int 6^{3x} \ln 6 dx = \ln 6 \int 6^{3x} dx$.
Применяем формулу, где $a=6$ и $k=3$:
$F(x) = \ln 6 \cdot \frac{6^{3x}}{3 \ln 6} + C = \frac{6^{3x}}{3} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{6^{3x}}{3} + C$.

8) Для функции $f(x) = e^{0.25x}$ используем формулу $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k} e^{kx+b} + C$.
Здесь $k=0.25 = \frac{1}{4}$ и $b=0$.
$F(x) = \int e^{0.25x} dx = \frac{1}{0.25} e^{0.25x} + C = 4e^{0.25x} + C$.
Ответ: $F(x) = 4e^{0.25x} + C$.

9) Первообразная суммы функций равна сумме первообразных: $F(x) = \int (e^{-x} + 2^{x/2}) dx = \int e^{-x} dx + \int 2^{x/2} dx$.
Для первого слагаемого $\int e^{-x} dx$ используем формулу $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx}$ (здесь $k=-1$): $\int e^{-x} dx = -e^{-x}$.
Для второго слагаемого $\int 2^{x/2} dx$ используем формулу $\int a^{kx} dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a}$ (здесь $a=2, k=1/2$): $\int 2^{x/2} dx = \frac{2^{x/2}}{\frac{1}{2} \ln 2} = \frac{2 \cdot 2^{x/2}}{\ln 2} = \frac{2^{1+x/2}}{\ln 2}$.
Суммируя результаты и добавляя константу интегрирования $C$, получаем:
$F(x) = -e^{-x} + \frac{2^{1+x/2}}{\ln 2} + C$.
Ответ: $F(x) = -e^{-x} + \frac{2^{1+x/2}}{\ln 2} + C$.

10) Первообразная разности функций равна разности первообразных: $F(x) = \int (3^{7x} \ln 3 - e^{-2x}) dx = \int 3^{7x} \ln 3 dx - \int e^{-2x} dx$.
Для первого слагаемого: $\int 3^{7x} \ln 3 dx = \ln 3 \int 3^{7x} dx = \ln 3 \cdot \frac{3^{7x}}{7 \ln 3} = \frac{3^{7x}}{7}$.
Для второго слагаемого: $\int e^{-2x} dx = \frac{e^{-2x}}{-2} = -\frac{e^{-2x}}{2}$.
Объединяя результаты, получаем:
$F(x) = \frac{3^{7x}}{7} - (-\frac{e^{-2x}}{2}) + C = \frac{3^{7x}}{7} + \frac{e^{-2x}}{2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3^{7x}}{7} + \frac{e^{-2x}}{2} + C$.

11) Находим первообразную как разность первообразных: $F(x) = \int (16e^{4x-3} - 12e^{5-6x}) dx = 16\int e^{4x-3} dx - 12\int e^{5-6x} dx$.
Для первого интеграла ($k=4, b=-3$): $16\int e^{4x-3} dx = 16 \cdot \frac{1}{4}e^{4x-3} = 4e^{4x-3}$.
Для второго интеграла ($k=-6, b=5$): $12\int e^{5-6x} dx = 12 \cdot \frac{1}{-6}e^{5-6x} = -2e^{5-6x}$.
Объединяя результаты, получаем:
$F(x) = 4e^{4x-3} - (-2e^{5-6x}) + C = 4e^{4x-3} + 2e^{5-6x} + C$.
Ответ: $F(x) = 4e^{4x-3} + 2e^{5-6x} + C$.