Номер 84, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Найдите:

1) $ \int (6x - x^2)^2 dx; $

2) $ \int \cos^2 4x dx; $

3) $ \int \cos 7x \cos 4x dx. $

1) Для нахождения интеграла $\int (6x - x^2)^2 dx$ сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(6x - x^2)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot x^2 + (x^2)^2 = 36x^2 - 12x^3 + x^4$.

Теперь проинтегрируем полученный многочлен почленно, используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (36x^2 - 12x^3 + x^4) dx = \int 36x^2 dx - \int 12x^3 dx + \int x^4 dx = 36 \frac{x^{2+1}}{2+1} - 12 \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = 36 \frac{x^3}{3} - 12 \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + C = 12x^3 - 3x^4 + \frac{1}{5}x^5 + C$.

Ответ: $12x^3 - 3x^4 + \frac{1}{5}x^5 + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \cos^2 4x dx$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 4x$, поэтому $\cos^2 4x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1 + \cos 8x}{2}$.

Подставим это выражение в интеграл:

$\int \cos^2 4x dx = \int \frac{1 + \cos 8x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 8x) dx = \frac{1}{2} (\int 1 dx + \int \cos 8x dx)$.

Теперь найдем каждый интеграл:

$\int 1 dx = x$.

$\int \cos 8x dx = \frac{1}{8} \sin 8x$.

Объединим результаты и добавим константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{8} \sin 8x) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \sin 8x + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \sin 8x + C$.

3) Для нахождения интеграла $\int \cos 7x \cos 4x dx$ применим тригонометрическую формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

В данном случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 4x$.

$\cos 7x \cos 4x = \frac{1}{2}(\cos(7x - 4x) + \cos(7x + 4x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 11x)$.

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int \cos 7x \cos 4x dx = \int \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 11x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 3x + \cos 11x) dx = \frac{1}{2} (\int \cos 3x dx + \int \cos 11x dx)$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int \cos 3x dx = \frac{1}{3} \sin 3x$.

$\int \cos 11x dx = \frac{1}{11} \sin 11x$.

Теперь объединим результаты:

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{11} \sin 11x) + C = \frac{1}{6} \sin 3x + \frac{1}{22} \sin 11x + C$.

Ответ: $\frac{1}{6} \sin 3x + \frac{1}{22} \sin 11x + C$.