Номер 88, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-4}^{3} (4 - x)dx;$

2) $\int_{-2}^{0} (x^2 + 6x)dx;$

3) $\int_{-5}^{-1} (x + 2)^2 dx;$

4) $\int_{-1.5}^{-1} (6x + 5)^5 dx;$

5) $\int_{0}^{0.5} \frac{12dx}{(4x - 3)^4};$

6) $\int_{4}^{49} \left(\frac{4}{\sqrt{x}} - 1\right)dx;$

7) $\int_{1}^{13} \frac{dx}{\sqrt{6x + 3}};$

8) $\int_{-4}^{16} \frac{dx}{\sqrt{8 - \frac{x}{4}}};$

9) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx;$

10) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{3\pi} \cos \frac{x}{3} dx;$

11) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{\sin^2 x};$

12) $\int_{\frac{\pi}{15}}^{\frac{\pi}{30}} \frac{dx}{\cos^2 5x};$

13) $\int_{1}^{16} \sqrt{x} dx;$

14) $\int_{16}^{81} \sqrt[4]{x} dx;$

15) $\int_{-12}^{-5} \sqrt{4 - x} dx;$

16) $\int_{\frac{\pi}{16}}^{\frac{\pi}{4}} \sin\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)dx;$

17) $\int_{1}^{4} e^x dx;$

18) $\int_{2}^{\log_2 5} 2^x dx;$

19) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} e^{1-2x} dx;$

20) $\int_{5}^{625} \frac{dx}{x};$

21) $\int_{e}^{e^9} \frac{4}{x}dx;$

22) $\int_{-2}^{-1} \left(x^2 + \frac{6}{x}\right)dx;$

23) $\int_{0}^{9} \frac{dx}{6x + 2};$

24) $\int_{-10}^{0} \frac{dx}{2x - 5};$

1)Для вычисления интеграла $ \int_{-4}^{3} (4 - x)dx $ используем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $.
Первообразная для $ f(x) = 4 - x $ есть $ F(x) = 4x - \frac{x^2}{2} $.
Вычисляем:
$ \int_{-4}^{3} (4 - x)dx = \left(4x - \frac{x^2}{2}\right) \bigg|_{-4}^{3} = \left(4 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(4 \cdot (-4) - \frac{(-4)^2}{2}\right) = \left(12 - \frac{9}{2}\right) - (-16 - 8) = \frac{15}{2} - (-24) = \frac{15}{2} + 24 = \frac{15+48}{2} = \frac{63}{2} = 31.5 $.
Ответ: $ 31.5 $

2)Вычисляем интеграл $ \int_{-2}^{0} (x^2 + 6x)dx $.
Первообразная для $ f(x) = x^2 + 6x $ есть $ F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} = \frac{x^3}{3} + 3x^2 $.
$ \int_{-2}^{0} (x^2 + 6x)dx = \left(\frac{x^3}{3} + 3x^2\right) \bigg|_{-2}^{0} = \left(\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 3 \cdot (-2)^2\right) = 0 - \left(-\frac{8}{3} + 12\right) = - \left(\frac{-8+36}{3}\right) = -\frac{28}{3} $.
Ответ: $ -\frac{28}{3} $

3)Вычисляем интеграл $ \int_{-5}^{-1} (x + 2)^2 dx $.
Первообразная для $ f(x) = (x+2)^2 $ есть $ F(x) = \frac{(x+2)^3}{3} $.
$ \int_{-5}^{-1} (x + 2)^2 dx = \left(\frac{(x+2)^3}{3}\right) \bigg|_{-5}^{-1} = \frac{(-1+2)^3}{3} - \frac{(-5+2)^3}{3} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = \frac{1}{3} - \frac{-27}{3} = \frac{1+27}{3} = \frac{28}{3} $.
Ответ: $ \frac{28}{3} $

4)Вычисляем интеграл $ \int_{-1.5}^{-1} (6x + 5)^5 dx $.
Первообразная для $ f(x) = (6x + 5)^5 $ есть $ F(x) = \frac{(6x+5)^6}{6 \cdot 6} = \frac{(6x+5)^6}{36} $.
$ \int_{-1.5}^{-1} (6x + 5)^5 dx = \left(\frac{(6x+5)^6}{36}\right) \bigg|_{-1.5}^{-1} = \frac{(6(-1)+5)^6}{36} - \frac{(6(-1.5)+5)^6}{36} = \frac{(-1)^6}{36} - \frac{(-4)^6}{36} = \frac{1 - 4096}{36} = -\frac{4095}{36} = -\frac{455}{4} = -113.75 $.
Ответ: $ -113.75 $

5)Вычисляем интеграл $ \int_{0}^{0.5} \frac{12 dx}{(4x - 3)^4} $.
Перепишем подынтегральную функцию: $ f(x) = 12(4x-3)^{-4} $. Первообразная $ F(x) = 12 \frac{(4x-3)^{-3}}{-3 \cdot 4} = -\frac{1}{(4x-3)^3} $.
$ \int_{0}^{0.5} \frac{12 dx}{(4x - 3)^4} = \left(-\frac{1}{(4x-3)^3}\right) \bigg|_{0}^{0.5} = \left(-\frac{1}{(4 \cdot 0.5 - 3)^3}\right) - \left(-\frac{1}{(4 \cdot 0 - 3)^3}\right) = \left(-\frac{1}{(-1)^3}\right) - \left(-\frac{1}{(-3)^3}\right) = 1 - \frac{1}{27} = \frac{26}{27} $.
Ответ: $ \frac{26}{27} $

6)Вычисляем интеграл $ \int_{4}^{49} (\frac{4}{\sqrt{x}} - 1)dx $.
Перепишем подынтегральную функцию: $ f(x) = 4x^{-1/2} - 1 $. Первообразная $ F(x) = 4\frac{x^{1/2}}{1/2} - x = 8\sqrt{x} - x $.
$ \int_{4}^{49} (\frac{4}{\sqrt{x}} - 1)dx = \left(8\sqrt{x} - x\right) \bigg|_{4}^{49} = (8\sqrt{49} - 49) - (8\sqrt{4} - 4) = (8 \cdot 7 - 49) - (8 \cdot 2 - 4) = (56-49) - (16-4) = 7 - 12 = -5 $.
Ответ: $ -5 $

7)Вычисляем интеграл $ \int_{1}^{13} \frac{dx}{\sqrt{6x + 3}} $.
Перепишем подынтегральную функцию: $ f(x) = (6x+3)^{-1/2} $. Первообразная $ F(x) = \frac{(6x+3)^{1/2}}{1/2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6x+3}}{3} $.
$ \int_{1}^{13} \frac{dx}{\sqrt{6x + 3}} = \left(\frac{\sqrt{6x+3}}{3}\right) \bigg|_{1}^{13} = \frac{\sqrt{6 \cdot 13 + 3}}{3} - \frac{\sqrt{6 \cdot 1 + 3}}{3} = \frac{\sqrt{81}}{3} - \frac{\sqrt{9}}{3} = \frac{9}{3} - \frac{3}{3} = 3 - 1 = 2 $.
Ответ: $ 2 $

8)Вычисляем интеграл $ \int_{-4}^{16} \frac{dx}{\sqrt{8 - \frac{x}{4}}} $.
Перепишем подынтегральную функцию: $ f(x) = (8 - \frac{1}{4}x)^{-1/2} $. Первообразная $ F(x) = \frac{(8 - \frac{1}{4}x)^{1/2}}{1/2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -8\sqrt{8 - \frac{x}{4}} $.
$ \int_{-4}^{16} \frac{dx}{\sqrt{8 - \frac{x}{4}}} = \left(-8\sqrt{8 - \frac{x}{4}}\right) \bigg|_{-4}^{16} = \left(-8\sqrt{8 - \frac{16}{4}}\right) - \left(-8\sqrt{8 - \frac{-4}{4}}\right) = (-8\sqrt{4}) - (-8\sqrt{9}) = -16 - (-24) = 8 $.
Ответ: $ 8 $

9)Вычисляем интеграл $ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin x dx $.
Первообразная для $ \sin x $ есть $ -\cos x $.
$ \int_{\pi/2}^{\pi} \sin x dx = (-\cos x) \bigg|_{\pi/2}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = (-(-1)) - (0) = 1 $.
Ответ: $ 1 $

10)Вычисляем интеграл $ \int_{\pi/2}^{3\pi} \cos \frac{x}{3} dx $.
Первообразная для $ \cos \frac{x}{3} $ есть $ \frac{\sin(x/3)}{1/3} = 3\sin(\frac{x}{3}) $.
$ \int_{\pi/2}^{3\pi} \cos \frac{x}{3} dx = \left(3\sin(\frac{x}{3})\right) \bigg|_{\pi/2}^{3\pi} = 3\sin(\frac{3\pi}{3}) - 3\sin(\frac{\pi/2}{3}) = 3\sin(\pi) - 3\sin(\frac{\pi}{6}) = 3 \cdot 0 - 3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} $.
Ответ: $ -1.5 $

11)Вычисляем интеграл $ \int_{\pi/2}^{3\pi/4} \frac{dx}{\sin^2 x} $.
Первообразная для $ \frac{1}{\sin^2 x} $ есть $ -\cot x $.
$ \int_{\pi/2}^{3\pi/4} \frac{dx}{\sin^2 x} = (-\cot x) \bigg|_{\pi/2}^{3\pi/4} = (-\cot \frac{3\pi}{4}) - (-\cot \frac{\pi}{2}) = (-(-1)) - (0) = 1 $.
Ответ: $ 1 $

12)Вычисляем интеграл $ \int_{-\pi/15}^{\pi/30} \frac{dx}{\cos^2 5x} $.
Первообразная для $ \frac{1}{\cos^2 5x} $ есть $ \frac{\tan(5x)}{5} $.
$ \int_{-\pi/15}^{\pi/30} \frac{dx}{\cos^2 5x} = \left(\frac{\tan(5x)}{5}\right) \bigg|_{-\pi/15}^{\pi/30} = \frac{\tan(5 \cdot \frac{\pi}{30})}{5} - \frac{\tan(5 \cdot (-\frac{\pi}{15}))}{5} = \frac{\tan(\frac{\pi}{6})}{5} - \frac{\tan(-\frac{\pi}{3})}{5} = \frac{1/ \sqrt{3}}{5} - \frac{-\sqrt{3}}{5} = \frac{1}{5\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{5} = \frac{1+3}{5\sqrt{3}} = \frac{4}{5\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{15} $.
Ответ: $ \frac{4\sqrt{3}}{15} $

13)Вычисляем интеграл $ \int_{1}^{16} \sqrt{x} dx = \int_{1}^{16} x^{1/2} dx $.
Первообразная для $ x^{1/2} $ есть $ \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} $.
$ \int_{1}^{16} x^{1/2} dx = \left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) \bigg|_{1}^{16} = \frac{2}{3}(16^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}((\sqrt{16})^3 - 1) = \frac{2}{3}(4^3 - 1) = \frac{2}{3}(64 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 63 = 2 \cdot 21 = 42 $.
Ответ: $ 42 $

14)Вычисляем интеграл $ \int_{16}^{81} \sqrt[4]{x} dx = \int_{16}^{81} x^{1/4} dx $.
Первообразная для $ x^{1/4} $ есть $ \frac{x^{5/4}}{5/4} = \frac{4}{5}x^{5/4} $.
$ \int_{16}^{81} x^{1/4} dx = \left(\frac{4}{5}x^{5/4}\right) \bigg|_{16}^{81} = \frac{4}{5}(81^{5/4}) - \frac{4}{5}(16^{5/4}) = \frac{4}{5}((\sqrt[4]{81})^5 - (\sqrt[4]{16})^5) = \frac{4}{5}(3^5 - 2^5) = \frac{4}{5}(243 - 32) = \frac{4}{5} \cdot 211 = \frac{844}{5} = 168.8 $.
Ответ: $ 168.8 $

15)Вычисляем интеграл $ \int_{-12}^{-5} \sqrt{4-x} dx = \int_{-12}^{-5} (4-x)^{1/2} dx $.
Первообразная для $ (4-x)^{1/2} $ есть $ \frac{(4-x)^{3/2}}{3/2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{3}(4-x)^{3/2} $.
$ \int_{-12}^{-5} (4-x)^{1/2} dx = \left(-\frac{2}{3}(4-x)^{3/2}\right) \bigg|_{-12}^{-5} = \left(-\frac{2}{3}(4-(-5))^{3/2}\right) - \left(-\frac{2}{3}(4-(-12))^{3/2}\right) = -\frac{2}{3}(9^{3/2}) + \frac{2}{3}(16^{3/2}) = -\frac{2}{3}(27) + \frac{2}{3}(64) = -18 + \frac{128}{3} = \frac{-54+128}{3} = \frac{74}{3} $.
Ответ: $ \frac{74}{3} $

16)Вычисляем интеграл $ \int_{\pi/16}^{\pi/4} \sin(4x - \frac{\pi}{4}) dx $.
Первообразная для $ \sin(4x - \frac{\pi}{4}) $ есть $ \frac{-\cos(4x - \frac{\pi}{4})}{4} $.
$ \int_{\pi/16}^{\pi/4} \sin(4x - \frac{\pi}{4}) dx = \left(-\frac{1}{4}\cos(4x - \frac{\pi}{4})\right) \bigg|_{\pi/16}^{\pi/4} = \left(-\frac{1}{4}\cos(4\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})\right) - \left(-\frac{1}{4}\cos(4\frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{4})\right) = -\frac{1}{4}\cos(\frac{3\pi}{4}) + \frac{1}{4}\cos(0) = -\frac{1}{4}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{4}(1) = \frac{\sqrt{2}}{8} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}+2}{8} $.
Ответ: $ \frac{2+\sqrt{2}}{8} $

17)Вычисляем интеграл $ \int_{1}^{4} e^x dx $.
Первообразная для $ e^x $ есть $ e^x $.
$ \int_{1}^{4} e^x dx = e^x \bigg|_{1}^{4} = e^4 - e^1 = e^4 - e $.
Ответ: $ e^4 - e $

18)Вычисляем интеграл $ \int_{2}^{\log_2 5} 2^x dx $.
Первообразная для $ 2^x $ есть $ \frac{2^x}{\ln 2} $.
$ \int_{2}^{\log_2 5} 2^x dx = \left(\frac{2^x}{\ln 2}\right) \bigg|_{2}^{\log_2 5} = \frac{2^{\log_2 5}}{\ln 2} - \frac{2^2}{\ln 2} = \frac{5}{\ln 2} - \frac{4}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} $.
Ответ: $ \frac{1}{\ln 2} $

19)Вычисляем интеграл $ \int_{0}^{1/2} e^{1-2x} dx $.
Первообразная для $ e^{1-2x} $ есть $ \frac{e^{1-2x}}{-2} $.
$ \int_{0}^{1/2} e^{1-2x} dx = \left(-\frac{1}{2}e^{1-2x}\right) \bigg|_{0}^{1/2} = \left(-\frac{1}{2}e^{1-2(1/2)}\right) - \left(-\frac{1}{2}e^{1-2(0)}\right) = -\frac{1}{2}e^0 + \frac{1}{2}e^1 = -\frac{1}{2} + \frac{e}{2} = \frac{e-1}{2} $.
Ответ: $ \frac{e-1}{2} $

20)Вычисляем интеграл $ \int_{5}^{625} \frac{dx}{x} $.
Первообразная для $ \frac{1}{x} $ есть $ \ln|x| $. В данном интервале $ x>0 $, поэтому $ \ln x $.
$ \int_{5}^{625} \frac{dx}{x} = \ln x \bigg|_{5}^{625} = \ln(625) - \ln(5) = \ln(5^4) - \ln(5) = 4\ln 5 - \ln 5 = 3\ln 5 $.
Ответ: $ 3\ln 5 $

21)Вычисляем интеграл $ \int_{e}^{e^9} \frac{4}{x}dx $.
$ \int_{e}^{e^9} \frac{4}{x}dx = 4 \int_{e}^{e^9} \frac{1}{x}dx = 4[\ln x]_{e}^{e^9} = 4(\ln(e^9) - \ln(e)) = 4(9 - 1) = 4 \cdot 8 = 32 $.
Ответ: $ 32 $

22)Вычисляем интеграл $ \int_{-2}^{-1} (x^2 + \frac{6}{x})dx $.
Первообразная для $ x^2 + \frac{6}{x} $ есть $ \frac{x^3}{3} + 6\ln|x| $.
$ \int_{-2}^{-1} (x^2 + \frac{6}{x})dx = \left(\frac{x^3}{3} + 6\ln|x|\right) \bigg|_{-2}^{-1} = \left(\frac{(-1)^3}{3} + 6\ln|-1|\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 6\ln|-2|\right) = (-\frac{1}{3} + 0) - (-\frac{8}{3} + 6\ln 2) = -\frac{1}{3} + \frac{8}{3} - 6\ln 2 = \frac{7}{3} - 6\ln 2 $.
Ответ: $ \frac{7}{3} - 6\ln 2 $

23)Вычисляем интеграл $ \int_{0}^{9} \frac{dx}{6x + 2} $.
Первообразная для $ \frac{1}{6x+2} $ есть $ \frac{1}{6}\ln|6x+2| $.
$ \int_{0}^{9} \frac{dx}{6x + 2} = \left(\frac{1}{6}\ln(6x+2)\right) \bigg|_{0}^{9} = \frac{1}{6}\ln(6 \cdot 9 + 2) - \frac{1}{6}\ln(6 \cdot 0 + 2) = \frac{1}{6}(\ln 56 - \ln 2) = \frac{1}{6}\ln(\frac{56}{2}) = \frac{1}{6}\ln 28 $.
Ответ: $ \frac{1}{6}\ln 28 $

24)Вычисляем интеграл $ \int_{-10}^{0} \frac{dx}{2x - 5} $.
Первообразная для $ \frac{1}{2x-5} $ есть $ \frac{1}{2}\ln|2x-5| $.
$ \int_{-10}^{0} \frac{dx}{2x - 5} = \left(\frac{1}{2}\ln|2x-5|\right) \bigg|_{-10}^{0} = \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 0 - 5| - \frac{1}{2}\ln|2(-10) - 5| = \frac{1}{2}\ln|-5| - \frac{1}{2}\ln|-25| = \frac{1}{2}(\ln 5 - \ln 25) = \frac{1}{2}\ln(\frac{5}{25}) = \frac{1}{2}\ln(\frac{1}{5}) = -\frac{1}{2}\ln 5 $.
Ответ: $ -\frac{1}{2}\ln 5 $