gdz.top
Номер 91, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 2. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл - номер 91, страница 53.
№90
№91 (с. 53)
Условие. №91 (с. 53)
91. Сравните площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке 6.
Рис. 6
$y = \frac{8}{x}$
Решение. №91 (с. 53)
Для того чтобы сравнить площади заштрихованных криволинейных трапеций, необходимо вычислить площадь каждой из них. Обе фигуры ограничены графиком функции $y = \frac{8}{x}$, осью абсцисс и соответствующими вертикальными прямыми. Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла.
1. Вычисление площади левой криволинейной трапеции.
Эта трапеция ограничена линиями $y = \frac{8}{x}$, $y = 0$, $x = \frac{1}{2}$ и $x = 1$. Обозначим её площадь как $S_1$.
$S_1 = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{8}{x} \,dx$
Для вычисления интеграла найдем первообразную функции $f(x) = \frac{8}{x}$. Первообразная равна $F(x) = 8\ln|x|$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S_1 = [8\ln|x|]_{\frac{1}{2}}^{1} = 8\ln(1) - 8\ln(\frac{1}{2})$
Зная, что $\ln(1) = 0$ и $\ln(\frac{1}{2}) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)$, получаем:
$S_1 = 8 \cdot 0 - 8(-\ln(2)) = 8\ln(2)$
2. Вычисление площади правой криволинейной трапеции.
Эта трапеция ограничена линиями $y = \frac{8}{x}$, $y = 0$, $x = 4$ и $x = 8$. Обозначим её площадь как $S_2$.
$S_2 = \int_{4}^{8} \frac{8}{x} \,dx$
Используя ту же первообразную, вычислим интеграл:
$S_2 = [8\ln|x|]_{4}^{8} = 8\ln(8) - 8\ln(4)$
Применим свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$:
$S_2 = 8(\ln(8) - \ln(4)) = 8\ln(\frac{8}{4}) = 8\ln(2)$
3. Сравнение площадей.
Сравнивая полученные значения, видим, что $S_1 = 8\ln(2)$ и $S_2 = 8\ln(2)$. Следовательно, $S_1 = S_2$.
Ответ: Площади заштрихованных криволинейных трапеций равны.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 91 расположенного на странице 53 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №91 (с. 53), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.