Номер 74, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) $f(x) = x^3$, $I = (-\infty; +\infty)$, $M(-1; 4);

2) $f(x) = \cos x$, $I = (-\infty; +\infty)$, $M\left(\frac{\pi}{6}; 1,5\right);

3) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$, $I = (0; \pi)$, $M\left(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right);

4) $f(x) = \frac{1}{x^5}$, $I = (0; +\infty)$, $M\left(\frac{1}{2}; -1\right);

5) $f(x) = \sqrt{x}$, $I = [0; +\infty)$, $M(9; 2).

1) Для функции $f(x) = x^3$ и точки $M(-1; 4)$.
Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(-1; 4)$, должно выполняться условие $F(-1) = 4$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$4 = \frac{(-1)^4}{4} + C$
$4 = \frac{1}{4} + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{15}{4}$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{15}{4}$.

2) Для функции $f(x) = \cos x$ и точки $M(\frac{\pi}{6}; 1,5)$.
Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int \cos x dx = \sin x + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{6}; 1,5)$, должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{6}) = 1,5$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$1,5 = \sin(\frac{\pi}{6}) + C$
Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, получаем:
$1,5 = 0,5 + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = 1,5 - 0,5 = 1$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \sin x + 1$.
Ответ: $F(x) = \sin x + 1$.

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ и точки $M(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3})$, должно выполняться условие $F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$-\frac{\sqrt{3}}{3} = -\cot(\frac{\pi}{3}) + C$
Так как $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:
$-\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = 0$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\cot x$.
Ответ: $F(x) = -\cot x$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^5}$ и точки $M(\frac{1}{2}; -1)$.
Запишем функцию в виде $f(x) = x^{-5}$. Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int x^{-5} dx = \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{4x^4} + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(\frac{1}{2}; -1)$, должно выполняться условие $F(\frac{1}{2}) = -1$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$-1 = -\frac{1}{4(\frac{1}{2})^4} + C$
$-1 = -\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{16}} + C$
$-1 = -\frac{1}{\frac{1}{4}} + C$
$-1 = -4 + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = -1 + 4 = 3$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\frac{1}{4x^4} + 3$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4x^4} + 3$.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$ и точки $M(9; 2)$.
Запишем функцию в виде $f(x) = x^{1/2}$. Общий вид первообразной для $f(x)$ есть $F(x) = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
Поскольку график первообразной проходит через точку $M(9; 2)$, должно выполняться условие $F(9) = 2$.
Подставим координаты точки в уравнение первообразной:
$2 = \frac{2}{3}(9)^{3/2} + C$
$2 = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 + C$
$2 = \frac{2}{3}(3)^3 + C$
$2 = \frac{2}{3} \cdot 27 + C$
$2 = 18 + C$
Отсюда находим константу $C$:
$C = 2 - 18 = -16$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} - 16$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 16$.