Номер 67, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке:

1) $f(x) = 5x^2 + 4x + 5$, $[-3; -1]$;

2) $f(x) = 4^x + 4^{-x}$, $[-2; 1]$;

3) $f(x) = e^{4x+5}(3x^2 + 2x)$, $[-2; -0,5]$.

1) Для функции $f(x) = 5x^2 + 4x + 5$ на промежутке $[-3; -1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем ее производную и критические точки.

Производная функции: $f'(x) = (5x^2 + 4x + 5)' = 10x + 4$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $10x + 4 = 0$, откуда $x = -0.4$.

Критическая точка $x = -0.4$ не принадлежит заданному промежутку $[-3; -1]$.

Следовательно, наибольшее и наименьшее значения функция достигает на концах отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -3$ и $x = -1$.

$f(-3) = 5(-3)^2 + 4(-3) + 5 = 5 \cdot 9 - 12 + 5 = 45 - 12 + 5 = 38$.

$f(-1) = 5(-1)^2 + 4(-1) + 5 = 5 \cdot 1 - 4 + 5 = 6$.

Сравнивая полученные значения, находим, что наибольшее значение функции равно 38, а наименьшее – 6.

Ответ: наибольшее значение $38$, наименьшее значение $6$.

2) Для функции $f(x) = 4^x + 4^{-x}$ на промежутке $[-2; 1]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (4^x + 4^{-x})' = 4^x \ln 4 - 4^{-x} \ln 4 = \ln 4 \cdot (4^x - 4^{-x})$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$\ln 4 \cdot (4^x - 4^{-x}) = 0$.

$4^x - 4^{-x} = 0$.

$4^x = 4^{-x}$, что равносильно $x = -x$, откуда $2x = 0$ и $x = 0$.

Критическая точка $x = 0$ принадлежит промежутку $[-2; 1]$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

$f(0) = 4^0 + 4^{-0} = 1 + 1 = 2$.

$f(-2) = 4^{-2} + 4^{-(-2)} = 4^{-2} + 4^2 = \frac{1}{16} + 16 = 16\frac{1}{16}$.

$f(1) = 4^1 + 4^{-1} = 4 + \frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$.

Сравниваем значения $2$, $16\frac{1}{16}$ и $4\frac{1}{4}$.

Наибольшее значение функции равно $16\frac{1}{16}$, а наименьшее – $2$.

Ответ: наибольшее значение $16\frac{1}{16}$, наименьшее значение $2$.

3) Для функции $f(x) = e^{4x+5}(3x^2 + 2x)$ на промежутке $[-2; -0,5]$.

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^{4x+5})'(3x^2 + 2x) + e^{4x+5}(3x^2 + 2x)'$.

$f'(x) = 4e^{4x+5}(3x^2 + 2x) + e^{4x+5}(6x + 2)$.

Вынесем общий множитель $e^{4x+5}$:

$f'(x) = e^{4x+5}(4(3x^2 + 2x) + (6x + 2)) = e^{4x+5}(12x^2 + 8x + 6x + 2) = e^{4x+5}(12x^2 + 14x + 2)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$e^{4x+5}(12x^2 + 14x + 2) = 0$.

Так как $e^{4x+5} > 0$ для любого $x$, то $12x^2 + 14x + 2 = 0$.

Разделим уравнение на 2: $6x^2 + 7x + 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1$ и $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.

Проверим, какие из критических точек принадлежат промежутку $[-2; -0,5]$.

$x_1 = -1$ принадлежит $[-2; -0,5]$.

$x_2 = -\frac{1}{6} \approx -0.167$ не принадлежит $[-2; -0,5]$, так как $-\frac{1}{6} > -0.5$.

Вычислим значения функции в критической точке $x=-1$ и на концах отрезка $x=-2$ и $x=-0,5$.

$f(-1) = e^{4(-1)+5}(3(-1)^2 + 2(-1)) = e^1(3 - 2) = e$.

$f(-2) = e^{4(-2)+5}(3(-2)^2 + 2(-2)) = e^{-3}(3 \cdot 4 - 4) = e^{-3}(12 - 4) = 8e^{-3} = \frac{8}{e^3}$.

$f(-0,5) = e^{4(-0,5)+5}(3(-0,5)^2 + 2(-0,5)) = e^{-2+5}(3(0,25) - 1) = e^3(0,75 - 1) = -0,25e^3 = -\frac{e^3}{4}$.

Сравним полученные значения: $e \approx 2,718$, $\frac{8}{e^3} \approx \frac{8}{20,08} \approx 0,398$, и $-\frac{e^3}{4} \approx -\frac{20,08}{4} \approx -5,02$.

Наибольшее значение функции равно $e$, а наименьшее – $-\frac{e^3}{4}$.

Ответ: наибольшее значение $e$, наименьшее значение $-\frac{e^3}{4}$.