Номер 64, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x) = (2^x - 5)(2^x - 3)$.

Уравнение горизонтальной касательной имеет вид $y = c$, где $c$ - константа. Угловой коэффициент (тангенс угла наклона) горизонтальной прямой равен нулю. Значение производной функции $f'(x)$ в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Следовательно, для нахождения точки, в которой касательная горизонтальна, необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

Дана функция $f(x) = (2^x - 5)(2^x - 3)$.

Для удобства дифференцирования раскроем скобки:

$f(x) = 2^x \cdot 2^x - 3 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x + 15 = (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x + 15 = 2^{2x} - 8 \cdot 2^x + 15$.

Теперь найдём производную функции $f(x)$. Используем формулу производной показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = (2^{2x})' - (8 \cdot 2^x)' + (15)' = 2^{2x} \ln(2) \cdot (2x)' - 8 \cdot 2^x \ln(2) + 0 = 2^{2x} \ln(2) \cdot 2 - 8 \cdot 2^x \ln(2)$.

$f'(x) = 2 \ln(2) \cdot 2^{2x} - 8 \ln(2) \cdot 2^x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$2 \ln(2) \cdot 2^{2x} - 8 \ln(2) \cdot 2^x = 0$.

Вынесем общий множитель $2 \ln(2) \cdot 2^x$ за скобки:

$2 \ln(2) \cdot 2^x (2^x - 4) = 0$.

Так как $2 \ln(2) \neq 0$ и $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то равенство возможно только при условии:

$2^x - 4 = 0$

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_0 = 2$.

Мы нашли абсциссу точки, в которой касательная горизонтальна. Теперь найдём ординату этой точки, подставив $x_0 = 2$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = f(2) = (2^2 - 5)(2^2 - 3) = (4 - 5)(4 - 3) = (-1)(1) = -1$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2, -1)$. Уравнение горизонтальной прямой, проходящей через эту точку, имеет вид $y = y_0$.

Следовательно, искомое уравнение горизонтальной касательной: $y = -1$.

Ответ: $y = -1$