Номер 63, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Найдите уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = e^x$, которая параллельна прямой $y = ex + 5$;

2) $f(x) = e^{4x+1}$, которая параллельна прямой $y = 4x - 10$.

1) f(x) = e^x, которая параллельна прямой y = ex + 5;

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$. Условие параллельности касательной и прямой $y = ex + 5$ означает, что их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой равен $e$. Следовательно, нам нужно найти такую точку $x_0$, в которой $f'(x_0) = e$.

Находим производную функции $f(x) = e^x$:
$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

Решаем уравнение $f'(x_0) = e$:
$e^{x_0} = e$.
Так как $e = e^1$, получаем $x_0 = 1$.

Находим ординату точки касания, подставляя $x_0 = 1$ в исходную функцию:
$y_0 = f(1) = e^1 = e$.
Точка касания имеет координаты $(1; e)$.

Теперь подставляем координаты точки касания $(1; e)$ и угловой коэффициент $k=e$ в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = e + e(x - 1)$
$y = e + ex - e$
$y = ex$.

Ответ: $y = ex$.

2) f(x) = e^4x+1, которая параллельна прямой y = 4x - 10.

Касательная параллельна прямой $y = 4x - 10$, следовательно, их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой равен $4$. Таким образом, ищем точку $x_0$, для которой $f'(x_0) = 4$.

Находим производную функции $f(x) = e^{4x+1}$ по правилу дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{4x+1})' = e^{4x+1} \cdot (4x+1)' = e^{4x+1} \cdot 4 = 4e^{4x+1}$.

Решаем уравнение $f'(x_0) = 4$:
$4e^{4x_0+1} = 4$
$e^{4x_0+1} = 1$.
Так как $e^0 = 1$, получаем, что показатель степени должен быть равен нулю:
$4x_0 + 1 = 0$
$4x_0 = -1$
$x_0 = -1/4$.

Находим ординату точки касания, подставляя $x_0 = -1/4$ в исходную функцию:
$y_0 = f(-1/4) = e^{4(-1/4)+1} = e^{-1+1} = e^0 = 1$.
Точка касания имеет координаты $(-1/4; 1)$.

Подставляем координаты точки касания $(-1/4; 1)$ и угловой коэффициент $k=4$ в уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 1 + 4(x - (-1/4))$
$y = 1 + 4(x + 1/4)$
$y = 1 + 4x + 1$
$y = 4x + 2$.

Ответ: $y = 4x + 2$.