Номер 56, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Для решения неравенства $f'(x) \le g'(x)$ сначала найдем производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

Найдем производную $f'(x)$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (e^x)'(x^2 + 4x - 3) + e^x(x^2 + 4x - 3)' = e^x(x^2 + 4x - 3) + e^x(2x + 4)$

$f'(x) = e^x(x^2 + 4x - 3 + 2x + 4) = e^x(x^2 + 6x + 1)$

Найдем производную $g'(x)$, также используя правило производной произведения:

$g'(x) = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$

Теперь подставим найденные производные в исходное неравенство:

$e^x(x^2 + 6x + 1) \le e^x(1 + x)$

Поскольку $e^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $e^x$, не меняя знака неравенства:

$x^2 + 6x + 1 \le 1 + x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 6x - x + 1 - 1 \le 0$

$x^2 + 5x \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 5x = 0$:

$x(x + 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Парабола $y = x^2 + 5x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неположительные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-5 \le x \le 0$.

Ответ: $[-5; 0]$

Для решения неравенства $f'(x) \le g'(x)$ сначала найдем производные функций $f(x)$ и $g(x)$.

Найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$:

$f'(x) = (4^{5x})' = 4^{5x} \ln(4) \cdot (5x)' = 5 \ln(4) \cdot 4^{5x} = 5 \ln(2^2) \cdot (2^2)^{5x} = 5 \cdot 2\ln(2) \cdot 2^{10x} = 10\ln(2) \cdot 2^{10x}$

Найдем производную $g'(x)$. Сначала упростим выражение для $g(x)$:

$g(x) = 5 \cdot 2^{x-1} = 5 \cdot 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{5}{2} \cdot 2^x$

Теперь найдем производную:

$g'(x) = (\frac{5}{2} \cdot 2^x)' = \frac{5}{2} (2^x)' = \frac{5}{2} \ln(2) \cdot 2^x$

Подставим найденные производные в исходное неравенство:

$10\ln(2) \cdot 2^{10x} \le \frac{5}{2} \ln(2) \cdot 2^x$

Поскольку $\ln(2) > 0$, мы можем разделить обе части на $5\ln(2)$, не меняя знака неравенства:

$2 \cdot 2^{10x} \le \frac{1}{2} \cdot 2^x$

Упростим, используя свойства степеней:

$2^{1} \cdot 2^{10x} \le 2^{-1} \cdot 2^x$

$2^{10x+1} \le 2^{x-1}$

Так как основание степени $2 > 1$, то неравенство для показателей степеней будет иметь тот же знак:

$10x + 1 \le x - 1$

Решим полученное линейное неравенство:

$10x - x \le -1 - 1$

$9x \le -2$

$x \le -\frac{2}{9}$

Ответ: $(-\infty; -2/9]$