Номер 50, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Найдите множество решений неравенства:

1) $\log_6 x + \log_6 (x + 1) \ge 1$;

2) $\log_{0,1} (x - 1) + \log_{0,1} (x + 2) \ge -1$;

3) $\log_{0,8} x + \log_{0,8} (x + 1) \le \log_{0,8} (8 - x)$;

4) $\log_2 (3x - 1) - \log_2 (x + 5) \ge 1 - \log_2 (x - 1).$

1) $\log_6 x + \log_6(x + 1) \ge 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_6 (x(x+1)) \ge 1$
Представим 1 как логарифм с основанием 6: $1 = \log_6 6$.
$\log_6 (x^2 + x) \ge \log_6 6$
Так как основание логарифма $6 > 1$, то функция логарифма возрастающая, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x^2 + x \ge 6$
$x^2 + x - 6 \ge 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 + x - 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty) \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in [2, +\infty)$
Ответ: $[2, +\infty)$

2) $\log_{0,1} (x - 1) + \log_{0,1} (x + 2) \ge -1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -2 \end{cases} \Rightarrow x > 1$
ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Решим неравенство. Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,1} ((x-1)(x+2)) \ge -1$
Представим -1 как логарифм с основанием 0,1: $-1 = \log_{0,1} (0,1^{-1}) = \log_{0,1} 10$.
$\log_{0,1} (x^2 + x - 2) \ge \log_{0,1} 10$
Так как основание логарифма $0,1 < 1$, то функция логарифма убывающая, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + x - 2 \le 10$
$x^2 + x - 12 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 + x - 12$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in [-4, 3]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in [-4, 3] \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow x \in (1, 3]$
Ответ: $(1, 3]$

3) $\log_{0,8} x + \log_{0,8} (x + 1) \le \log_{0,8} (8 - x)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ x < 8 \end{cases} \Rightarrow 0 < x < 8$
ОДЗ: $x \in (0, 8)$.

Решим неравенство. Используем свойство суммы логарифмов в левой части:
$\log_{0,8} (x(x+1)) \le \log_{0,8} (8 - x)$
$\log_{0,8} (x^2 + x) \le \log_{0,8} (8 - x)$
Так как основание логарифма $0,8 < 1$, то функция логарифма убывающая, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + x \ge 8 - x$
$x^2 + 2x - 8 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 + 2x - 8$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty) \\ x \in (0, 8) \end{cases} \Rightarrow x \in [2, 8)$
Ответ: $[2, 8)$

4) $\log_2 (3x - 1) - \log_2 (x + 5) \ge 1 - \log_2 (x - 1)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ x + 5 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1/3 \\ x > -5 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow x > 1$
ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Перенесем все логарифмы в левую часть и преобразуем неравенство:
$\log_2 (3x - 1) - \log_2 (x + 5) + \log_2 (x - 1) \ge 1$
Используем свойства логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2 \frac{(3x - 1)(x - 1)}{x + 5} \ge 1$
Представим 1 как логарифм с основанием 2: $1 = \log_2 2$.
$\log_2 \frac{3x^2 - 4x + 1}{x + 5} \ge \log_2 2$
Так как основание логарифма $2 > 1$, то функция логарифма возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$\frac{3x^2 - 4x + 1}{x + 5} \ge 2$
$\frac{3x^2 - 4x + 1}{x + 5} - 2 \ge 0$
$\frac{3x^2 - 4x + 1 - 2(x+5)}{x + 5} \ge 0$
$\frac{3x^2 - 4x + 1 - 2x - 10}{x + 5} \ge 0$
$\frac{3x^2 - 6x - 9}{x + 5} \ge 0$
Разделим числитель на 3:
$\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 5} \ge 0$
Найдем корни числителя: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Найдем корень знаменателя: $x+5=0 \Rightarrow x = -5$.
$\frac{(x+1)(x-3)}{x+5} \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки -5, -1, 3.
Получаем интервалы: $(-\infty, -5)$, $(-5, -1]$, $[-1, 3]$, $[3, +\infty)$.
Расставим знаки: -, +, -, +.
Неравенство $\ge 0$ выполняется при $x \in (-5, -1] \cup [3, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-5, -1] \cup [3, +\infty) \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow x \in [3, +\infty)$
Ответ: $[3, +\infty)$