Страница 44 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Решите неравенство:

1) $log_{1/4} \frac{35-x}{x} \le -\frac{1}{2}$

2) $log_{3} \frac{2x+1}{x+1} \le 1$

3) $log_{0.5} \left( log_{8} \frac{x-2}{3-x} \right) \ge 0$

1) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{4}} \frac{35-x}{x} \le -\frac{1}{2} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \frac{35-x}{x} > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $35-x=0 \implies x=35$. Нуль знаменателя: $x=0$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения на интервалах. Получаем, что неравенство выполняется при $x \in (0, 35)$. Это наша ОДЗ.

Теперь решим само логарифмическое неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $ \frac{1}{4} $:

$ -\frac{1}{2} = \log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{4}} (4^{\frac{1}{2}}) = \log_{\frac{1}{4}} 2 $

Неравенство принимает вид:

$ \log_{\frac{1}{4}} \frac{35-x}{x} \le \log_{\frac{1}{4}} 2 $

Так как основание логарифма $ a = \frac{1}{4} $ меньше 1 ($0 < a < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{35-x}{x} \ge 2 $

Решим полученное рациональное неравенство:

$ \frac{35-x}{x} - 2 \ge 0 $

$ \frac{35-x-2x}{x} \ge 0 $

$ \frac{35-3x}{x} \ge 0 $

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (0, \frac{35}{3}]$.

Наконец, найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$ (0, \frac{35}{3}] \cap (0, 35) = (0, \frac{35}{3}] $

Ответ: $ x \in (0, \frac{35}{3}] $.

2) Решим неравенство $ \log_{3} \frac{2x+1}{x+1} \le 1 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \frac{2x+1}{x+1} > 0 $

Методом интервалов находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 3: $1 = \log_3 3$.

$ \log_{3} \frac{2x+1}{x+1} \le \log_3 3 $

Основание логарифма $a=3$ больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ \frac{2x+1}{x+1} \le 3 $

Решим это рациональное неравенство:

$ \frac{2x+1}{x+1} - 3 \le 0 $

$ \frac{2x+1 - 3(x+1)}{x+1} \le 0 $

$ \frac{2x+1 - 3x - 3}{x+1} \le 0 $

$ \frac{-x-2}{x+1} \le 0 $

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$ \frac{x+2}{x+1} \ge 0 $

Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересечение множеств $(-\infty, -2] \cup (-1, +\infty)$ и $(-\infty, -1) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)$ дает итоговый результат.

Ответ: $ x \in (-\infty, -2] \cup (-\frac{1}{2}, +\infty) $.

3) Решим неравенство $ \log_{0.5} \log_{8} \frac{x-2}{3-x} > 0 $.

Это сложное логарифмическое неравенство. Основание внешнего логарифма $a = 0.5$ меньше 1, поэтому при снятии логарифма знак неравенства меняется. Также аргумент внешнего логарифма должен быть положительным.

$ \log_{0.5} \log_{8} \frac{x-2}{3-x} > 0 \implies 0 < \log_{8} \frac{x-2}{3-x} < 0.5^0 $

$ 0 < \log_{8} \frac{x-2}{3-x} < 1 $

Теперь рассмотрим это двойное неравенство. Основание внутреннего логарифма $a=8$ больше 1, поэтому функция возрастающая и знаки неравенств сохраняются при потенцировании:

$ 8^0 < \frac{x-2}{3-x} < 8^1 $

$ 1 < \frac{x-2}{3-x} < 8 $

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x-2}{3-x} > 1 \\ \frac{x-2}{3-x} < 8 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ \frac{x-2}{3-x} - 1 > 0 \implies \frac{x-2-(3-x)}{3-x} > 0 \implies \frac{2x-5}{3-x} > 0 $

Методом интервалов получаем $x \in (2.5, 3)$.

Решим второе неравенство:

$ \frac{x-2}{3-x} - 8 < 0 \implies \frac{x-2-8(3-x)}{3-x} < 0 \implies \frac{x-2-24+8x}{3-x} < 0 \implies \frac{9x-26}{3-x} < 0 $

Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, \frac{26}{9}) \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (2.5, 3)$ и $x \in (-\infty, \frac{26}{9}) \cup (3, +\infty)$.

Учитывая, что $2.5 = \frac{5}{2} = \frac{22.5}{9}$, а $3 = \frac{27}{9}$, и $22.5 < 26 < 27$, пересечением является интервал $ (2.5, \frac{26}{9}) $.

Ответ: $ x \in (2.5, \frac{26}{9}) $.

50. Найдите множество решений неравенства:

1) $\log_6 x + \log_6 (x + 1) \ge 1$;

2) $\log_{0,1} (x - 1) + \log_{0,1} (x + 2) \ge -1$;

3) $\log_{0,8} x + \log_{0,8} (x + 1) \le \log_{0,8} (8 - x)$;

4) $\log_2 (3x - 1) - \log_2 (x + 5) \ge 1 - \log_2 (x - 1).$

1) $\log_6 x + \log_6(x + 1) \ge 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > 0$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_6 (x(x+1)) \ge 1$
Представим 1 как логарифм с основанием 6: $1 = \log_6 6$.
$\log_6 (x^2 + x) \ge \log_6 6$
Так как основание логарифма $6 > 1$, то функция логарифма возрастающая, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$x^2 + x \ge 6$
$x^2 + x - 6 \ge 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 + x - 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty) \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in [2, +\infty)$
Ответ: $[2, +\infty)$

2) $\log_{0,1} (x - 1) + \log_{0,1} (x + 2) \ge -1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > -2 \end{cases} \Rightarrow x > 1$
ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Решим неравенство. Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,1} ((x-1)(x+2)) \ge -1$
Представим -1 как логарифм с основанием 0,1: $-1 = \log_{0,1} (0,1^{-1}) = \log_{0,1} 10$.
$\log_{0,1} (x^2 + x - 2) \ge \log_{0,1} 10$
Так как основание логарифма $0,1 < 1$, то функция логарифма убывающая, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + x - 2 \le 10$
$x^2 + x - 12 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 + x - 12$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in [-4, 3]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in [-4, 3] \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow x \in (1, 3]$
Ответ: $(1, 3]$

3) $\log_{0,8} x + \log_{0,8} (x + 1) \le \log_{0,8} (8 - x)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \\ x < 8 \end{cases} \Rightarrow 0 < x < 8$
ОДЗ: $x \in (0, 8)$.

Решим неравенство. Используем свойство суммы логарифмов в левой части:
$\log_{0,8} (x(x+1)) \le \log_{0,8} (8 - x)$
$\log_{0,8} (x^2 + x) \le \log_{0,8} (8 - x)$
Так как основание логарифма $0,8 < 1$, то функция логарифма убывающая, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 + x \ge 8 - x$
$x^2 + 2x - 8 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Парабола $y = x^2 + 2x - 8$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-\infty, -4] \cup [2, +\infty) \\ x \in (0, 8) \end{cases} \Rightarrow x \in [2, 8)$
Ответ: $[2, 8)$

4) $\log_2 (3x - 1) - \log_2 (x + 5) \ge 1 - \log_2 (x - 1)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ x + 5 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1/3 \\ x > -5 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow x > 1$
ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Перенесем все логарифмы в левую часть и преобразуем неравенство:
$\log_2 (3x - 1) - \log_2 (x + 5) + \log_2 (x - 1) \ge 1$
Используем свойства логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_2 \frac{(3x - 1)(x - 1)}{x + 5} \ge 1$
Представим 1 как логарифм с основанием 2: $1 = \log_2 2$.
$\log_2 \frac{3x^2 - 4x + 1}{x + 5} \ge \log_2 2$
Так как основание логарифма $2 > 1$, то функция логарифма возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$\frac{3x^2 - 4x + 1}{x + 5} \ge 2$
$\frac{3x^2 - 4x + 1}{x + 5} - 2 \ge 0$
$\frac{3x^2 - 4x + 1 - 2(x+5)}{x + 5} \ge 0$
$\frac{3x^2 - 4x + 1 - 2x - 10}{x + 5} \ge 0$
$\frac{3x^2 - 6x - 9}{x + 5} \ge 0$
Разделим числитель на 3:
$\frac{x^2 - 2x - 3}{x + 5} \ge 0$
Найдем корни числителя: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Найдем корень знаменателя: $x+5=0 \Rightarrow x = -5$.
$\frac{(x+1)(x-3)}{x+5} \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки -5, -1, 3.
Получаем интервалы: $(-\infty, -5)$, $(-5, -1]$, $[-1, 3]$, $[3, +\infty)$.
Расставим знаки: -, +, -, +.
Неравенство $\ge 0$ выполняется при $x \in (-5, -1] \cup [3, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in (-5, -1] \cup [3, +\infty) \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow x \in [3, +\infty)$
Ответ: $[3, +\infty)$

51. Решите неравенство:

1) $\log^2_{0.5} (2x - 1) \le 9;$

2) $\lg^2 x - \lg x - 6 > 0;$

3) $2\log^2_5 x - \log_5 x - 3 \le 0;$

4) $\log^2_{0.2} (x - 1) + 6 > 5\log_{0.2} (x - 1);$

5) $\log^2_{0.1} (-x) + 0.5\log_{0.1} x^2 \le 2;$

6) $\log_3 x^3 \cdot \log_3 \frac{x}{27} \le 12;$

7) $\frac{\log^2_5 x + \log_5 x - 12}{\log_5 x + 2} \ge 0;$

8) $3\log_8 x - 2\log_x 8 \le 5.$

1) $\log_{0,5}^2(2x - 1) \le 9$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0,5$.
ОДЗ: $x \in (0,5; +\infty)$.

Данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \log_{0,5}(2x - 1) \ge -3 \\ \log_{0,5}(2x - 1) \le 3 \end{cases}$

Решим каждое неравенство. Так как основание логарифма $0,5 < 1$, то при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

1) $\log_{0,5}(2x - 1) \le 3 \implies 2x - 1 \ge 0,5^3 \implies 2x - 1 \ge \frac{1}{8} \implies 2x \ge 1 + \frac{1}{8} \implies 2x \ge \frac{9}{8} \implies x \ge \frac{9}{16}$.

2) $\log_{0,5}(2x - 1) \ge -3 \implies 2x - 1 \le 0,5^{-3} \implies 2x - 1 \le (\frac{1}{2})^{-3} \implies 2x - 1 \le 2^3 \implies 2x - 1 \le 8 \implies 2x \le 9 \implies x \le 4,5$.

Объединим полученные решения и учтем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0,5 \\ x \ge \frac{9}{16} \\ x \le 4,5 \end{cases}$
Так как $0,5 = \frac{8}{16}$, то $x > \frac{8}{16}$.
Пересечением является интервал $[\frac{9}{16}; 4,5]$.

Ответ: $x \in [\frac{9}{16}; 4,5]$.

2) $\lg^2 x - \lg x - 6 > 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену: пусть $t = \lg x$. Неравенство принимает вид:
$t^2 - t - 6 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 3$, $t_2 = -2$.
$(t - 3)(t + 2) > 0$.
Решением неравенства является совокупность $t < -2$ или $t > 3$.

Выполним обратную замену:
$\lg x < -2$ или $\lg x > 3$.
Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, знак неравенства сохраняется.
$x < 10^{-2} \implies x < 0,01$.
$x > 10^3 \implies x > 1000$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем:
$0 < x < 0,01$ или $x > 1000$.

Ответ: $x \in (0; 0,01) \cup (1000; +\infty)$.

3) $2\log_5^2 x - \log_5 x - 3 \le 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену: пусть $t = \log_5 x$.
$2t^2 - t - 3 \le 0$.

Найдем корни уравнения $2t^2 - t - 3 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$t_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$, $t_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$.
Решением неравенства является интервал $-1 \le t \le 1,5$.

Выполним обратную замену:
$-1 \le \log_5 x \le 1,5$.
Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется.
$5^{-1} \le x \le 5^{1,5} \implies \frac{1}{5} \le x \le 5\sqrt{5}$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [0,2; 5\sqrt{5}]$.

4) $\log_{0,2}^2(x - 1) + 6 > 5\log_{0,2}(x - 1)$

ОДЗ: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Сделаем замену: пусть $t = \log_{0,2}(x - 1)$.
$t^2 + 6 > 5t \implies t^2 - 5t + 6 > 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
$(t - 2)(t - 3) > 0$.
Решением является совокупность $t < 2$ или $t > 3$.

Выполним обратную замену:
1) $\log_{0,2}(x - 1) < 2$. Так как основание $0,2 < 1$, знак меняется: $x - 1 > 0,2^2 \implies x - 1 > 0,04 \implies x > 1,04$.
2) $\log_{0,2}(x - 1) > 3$. Так как основание $0,2 < 1$, знак меняется: $x - 1 < 0,2^3 \implies x - 1 < 0,008 \implies x < 1,008$.

Учитывая ОДЗ ($x > 1$), получаем:
$x > 1,04$ или $1 < x < 1,008$.

Ответ: $x \in (1; 1,008) \cup (1,04; +\infty)$.

5) $\log_{0,1}^2(-x) + 0,5\log_{0,1} x^2 \le 2$

ОДЗ: $-x > 0 \implies x < 0$ и $x^2 > 0 \implies x \ne 0$. Итоговая ОДЗ: $x < 0$.

Используем свойство логарифма $\log_a b^p = p \log_a |b|$.
$0,5\log_{0,1} x^2 = 0,5 \cdot 2 \log_{0,1} |x| = \log_{0,1} |x|$.
Поскольку по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.
Неравенство принимает вид: $\log_{0,1}^2(-x) + \log_{0,1}(-x) - 2 \le 0$.

Сделаем замену: пусть $t = \log_{0,1}(-x)$.
$t^2 + t - 2 \le 0$.

Корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$.
Решением является интервал $-2 \le t \le 1$.

Выполним обратную замену:
$-2 \le \log_{0,1}(-x) \le 1$.
Так как основание $0,1 < 1$, знаки неравенств меняются:
$0,1^1 \le -x \le 0,1^{-2} \implies 0,1 \le -x \le 100$.
Умножим на -1, меняя знаки неравенств:
$-100 \le x \le -0,1$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $x \in [-100; -0,1]$.

6) $\log_3 x^3 \cdot \log_3 \frac{x}{27} \le 12$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:
$(3\log_3 x) \cdot (\log_3 x - \log_3 27) \le 12$
$3\log_3 x \cdot (\log_3 x - 3) \le 12$

Сделаем замену: пусть $t = \log_3 x$.
$3t(t - 3) \le 12 \implies 3t^2 - 9t - 12 \le 0$.
Разделим на 3: $t^2 - 3t - 4 \le 0$.

Корни уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$: $t_1 = 4$, $t_2 = -1$.
Решением является интервал $-1 \le t \le 4$.

Выполним обратную замену:
$-1 \le \log_3 x \le 4$.
Так как основание $3 > 1$, знаки сохраняются:
$3^{-1} \le x \le 3^4 \implies \frac{1}{3} \le x \le 81$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; 81]$.

7) $\frac{\log_5^2 x + \log_5 x - 12}{\log_5 x + 2} \ge 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену: пусть $t = \log_5 x$. Знаменатель не может быть равен нулю: $t + 2 \ne 0 \implies t \ne -2$.
$\frac{t^2 + t - 12}{t + 2} \ge 0$.

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $t^2 + t - 12 = 0$: $t_1 = 3$, $t_2 = -4$.
$\frac{(t - 3)(t + 4)}{t + 2} \ge 0$.

Решим методом интервалов. Критические точки: -4, -2, 3.
На числовой оси $t$ отмечаем точки. Точка -2 выколотая, -4 и 3 закрашенные.
При $t > 3$: $\frac{+ \cdot +}{+} = +$.
При $-2 < t < 3$: $\frac{- \cdot +}{+} = -$.
При $-4 < t < -2$: $\frac{- \cdot +}{-} = +$.
При $t < -4$: $\frac{- \cdot -}{-} = -$.
Нам нужны положительные интервалы и точки, где числитель равен нулю:
$t \in [-4; -2) \cup [3; +\infty)$.

Выполним обратную замену:
1) $-4 \le \log_5 x < -2 \implies 5^{-4} \le x < 5^{-2} \implies \frac{1}{625} \le x < \frac{1}{25}$.
2) $\log_5 x \ge 3 \implies x \ge 5^3 \implies x \ge 125$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{625}; \frac{1}{25}) \cup [125; +\infty)$.

8) $3\log_8 x - 2\log_x 8 \le 5$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \ne 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_x 8 = \frac{1}{\log_8 x}$.
$3\log_8 x - \frac{2}{\log_8 x} \le 5$.

Сделаем замену: пусть $t = \log_8 x$. Так как $x \ne 1$, то $t \ne 0$.
$3t - \frac{2}{t} \le 5 \implies 3t - \frac{2}{t} - 5 \le 0 \implies \frac{3t^2 - 5t - 2}{t} \le 0$.

Найдем корни числителя $3t^2 - 5t - 2 = 0$.
$D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$, $t_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2$.
Неравенство принимает вид: $\frac{3(t + 1/3)(t - 2)}{t} \le 0$.

Решим методом интервалов. Критические точки: -1/3, 0, 2.
При $t > 2$: $\frac{+}{+} = +$.
При $0 < t < 2$: $\frac{-}{+} = -$.
При $-1/3 < t < 0$: $\frac{+}{-} = -$. (Ошибка, $(-1/3, 0)$ t=-0.1 -> $(+)(-)/(-) = +$ )
Давайте проверим знаки заново:
$t > 2$: $(+)(+)/(+) > 0$.
$0 < t < 2$: $(+)(-)/(+) < 0$.
$-1/3 < t < 0$: $(+)(-)/(-) > 0$.
$t < -1/3$: $(-)(-)/(-) < 0$.
Нам нужны отрицательные интервалы и точки, где числитель равен нулю:
$t \in (-\infty; -1/3] \cup (0; 2]$.

Выполним обратную замену:
1) $\log_8 x \le -1/3 \implies x \le 8^{-1/3} \implies x \le \frac{1}{\sqrt[3]{8}} \implies x \le \frac{1}{2}$.
2) $0 < \log_8 x \le 2 \implies 8^0 < x \le 8^2 \implies 1 < x \le 64$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0, x \ne 1$), получаем:
Из $x \le 1/2$ и $x > 0$ следует $x \in (0; 1/2]$.
Интервал $(1; 64]$ уже удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (0; 1/2] \cup (1; 64]$.

52. Решите неравенство:

1) $\log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 1;$

2) $\log_{x-1}(x + 1) \ge 2.$

Решим неравенство $ \log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 1 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $ x^2 - 5x + 6 > 0 $. Корни уравнения $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ равны $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty) $.
2. Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице: $ \begin{cases} 2x > 0 \\ 2x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1/2 \end{cases} $.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \in (0, 1/2) \cup (1/2, 2) \cup (3, \infty) $.

Решение неравенства зависит от значения основания $ 2x $. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, то есть $ 2x > 1 \Rightarrow x > 1/2 $.
В этом случае функция логарифма возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$ x^2 - 5x + 6 < (2x)^1 $
$ x^2 - 5x + 6 < 2x $
$ x^2 - 7x + 6 < 0 $
Корни уравнения $ x^2 - 7x + 6 = 0 $ равны $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 6 $. Неравенство выполняется между корнями: $ x \in (1, 6) $.

Теперь найдем пересечение полученного решения $ x \in (1, 6) $ с условием этого случая $ x > 1/2 $ и с ОДЗ.
$ (1, 6) \cap (1/2, \infty) \cap ((0, 1/2) \cup (1/2, 2) \cup (3, \infty)) = (1, 2) \cup (3, 6) $.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1, то есть $ 0 < 2x < 1 \Rightarrow 0 < x < 1/2 $.
В этом случае функция логарифма убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:
$ x^2 - 5x + 6 > (2x)^1 $
$ x^2 - 7x + 6 > 0 $
Неравенство выполняется вне корней $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 6 $: $ x \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty) $.

Найдем пересечение этого решения с условием случая $ 0 < x < 1/2 $.
$ ((-\infty, 1) \cup (6, \infty)) \cap (0, 1/2) = (0, 1/2) $.
Этот интервал полностью входит в ОДЗ.

Общее решение неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях.
$ ((1, 2) \cup (3, 6)) \cup (0, 1/2) $.

Ответ: $ x \in (0, 1/2) \cup (1, 2) \cup (3, 6) $.

Решим неравенство $ \log_{x-1}(x + 1) \ge 2 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма: $ x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 $.
2. Основание логарифма: $ \begin{cases} x-1 > 0 \\ x-1 \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x \ne 2 \end{cases} $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in (1, 2) \cup (2, \infty) $.

Рассмотрим два случая для основания $ x-1 $.

Случай 1: Основание больше 1, то есть $ x-1 > 1 \Rightarrow x > 2 $.
Знак неравенства сохраняется:
$ x + 1 \ge (x-1)^2 $
$ x + 1 \ge x^2 - 2x + 1 $
$ 0 \ge x^2 - 3x $
$ x^2 - 3x \le 0 $
$ x(x-3) \le 0 $
Решением этого неравенства является отрезок $ [0, 3] $.

Найдем пересечение решения $ [0, 3] $ с условием этого случая $ x > 2 $.
$ [0, 3] \cap (2, \infty) = (2, 3] $.
Этот интервал полностью удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1, то есть $ 0 < x-1 < 1 \Rightarrow 1 < x < 2 $.
Знак неравенства меняется на противоположный:
$ x + 1 \le (x-1)^2 $
$ x + 1 \le x^2 - 2x + 1 $
$ 0 \le x^2 - 3x $
$ x(x-3) \ge 0 $
Решением является объединение интервалов $ (-\infty, 0] \cup [3, \infty) $.

Найдем пересечение этого решения с условием случая $ 1 < x < 2 $.
$ ((-\infty, 0] \cup [3, \infty)) \cap (1, 2) = \emptyset $.
В этом случае решений нет.

Общее решение неравенства - это решение, полученное в первом случае.

Ответ: $ x \in (2, 3] $.

53. При каких значениях $a$ число 3 является решением неравенства $\log_a(2x + 3) > 3$?

Для того чтобы число 3 было решением неравенства $log_{a}(2x+3) > 3$, оно должно удовлетворять этому неравенству при подстановке вместо $x$. Подставим $x=3$ в исходное неравенство:

$log_{a}(2 \cdot 3 + 3) > 3$

$log_{a}(6 + 3) > 3$

$log_{a}(9) > 3$

Теперь нам нужно решить полученное неравенство относительно переменной $a$. По определению логарифма, основание $a$ должно удовлетворять условиям: $a > 0$ и $a \neq 1$. Решение логарифмического неравенства зависит от значения основания, поэтому рассмотрим два случая.

1. Основание $a > 1$.
В этом случае логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $a$: $3 = log_{a}(a^3)$.
Неравенство принимает вид:
$log_{a}(9) > log_{a}(a^3)$
Так как $a > 1$, то:
$9 > a^3$
$a^3 < 9$
$a < \sqrt[3]{9}$
Объединяя полученное решение с условием для этого случая ($a > 1$), получаем интервал: $1 < a < \sqrt[3]{9}$.

2. Основание $0 < a < 1$.
В этом случае логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$log_{a}(9) > log_{a}(a^3)$
Так как $0 < a < 1$, то:
$9 < a^3$
$a^3 > 9$
$a > \sqrt[3]{9}$
Теперь нужно найти пересечение полученного результата $a > \sqrt[3]{9}$ с условием для этого случая ($0 < a < 1$). Так как $\sqrt[3]{9} > \sqrt[3]{8} = 2$, то очевидно, что не существует такого значения $a$, которое было бы одновременно меньше 1 и больше 2. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $a \in (1; \sqrt[3]{9})$.