Страница 38 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Решите неравенство:

1) $7^x < \frac{1}{49};$

2) $0,1^x > 0,001;$

3) $\left(\frac{3}{7}\right)^{x^2} \le \left(\frac{7}{3}\right)^{4x-21};$

4) $1,3^{\frac{x^2-9x-10}{x}} \ge 1;$

5) $4 \cdot 0,5^{x(x+3)} < 0,25^{2x};$

6) $0,3^{\frac{x^2-8}{x}} \ge 11\frac{1}{9};$

7) $0,4 \cdot 6,25^{\frac{1}{x}} \le 2,5^{x-2};$

8) $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{1+\frac{4}{x+2}} \ge \left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{9}{x+3}}.$

1) $7^x < \frac{1}{49}$
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$.
Получаем неравенство $7^x < 7^{-2}$.
Так как основание степени $7 > 1$, то показательная функция с таким основанием является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x < -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

2) $0,1^x > 0,001$
Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 0,1: $0,001 = (0,1)^3$.
Получаем неравенство $0,1^x > (0,1)^3$.
Так как основание степени $0,1 < 1$, то показательная функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

3) $(\frac{3}{7})^{x^2} \le (\frac{7}{3})^{4x-21}$
Приведем степени к одному основанию. Заметим, что $\frac{7}{3} = (\frac{3}{7})^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{7})^{x^2} \le ((\frac{3}{7})^{-1})^{4x-21}$.
$(\frac{3}{7})^{x^2} \le (\frac{3}{7})^{-(4x-21)}$
$(\frac{3}{7})^{x^2} \le (\frac{3}{7})^{21-4x}$
Так как основание степени $\frac{3}{7} < 1$, функция является убывающей, и при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 \ge 21-4x$
$x^2 + 4x - 21 \ge 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 21 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3, x_2 = -7$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $x \le -7$ и $x \ge 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [3; +\infty)$.

4) $1,3^{\frac{x^2-9x-10}{x}} \ge 1$
Представим 1 как степень с основанием 1,3: $1 = 1,3^0$.
Неравенство принимает вид: $1,3^{\frac{x^2-9x-10}{x}} \ge 1,3^0$.
Так как основание $1,3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства для показателей сохраняется. Также учтем, что знаменатель не может быть равен нулю ($x \ne 0$):
$\frac{x^2-9x-10}{x} \ge 0$
Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя: $x^2-9x-10=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 10, x_2 = -1$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки -1, 0, 10 на числовой оси (точки -1 и 10 закрашенные, точка 0 выколотая) и определим знаки выражения на получившихся интервалах.
Решением неравенства являются промежутки, где выражение неотрицательно.
Ответ: $x \in [-1; 0) \cup [10; +\infty)$.

5) $4 \cdot 0,5^{x(x+3)} < 0,25^{2x}$
Приведем все множители к степеням с основанием 2:
$4 = 2^2$, $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.
Неравенство принимает вид: $2^2 \cdot (2^{-1})^{x(x+3)} < (2^{-2})^{2x}$.
$2^2 \cdot 2^{-x^2-3x} < 2^{-4x}$
$2^{2 - x^2 - 3x} < 2^{-4x}$
Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства для показателей сохраняется:
$2 - x^2 - 3x < -4x$
$-x^2 + x + 2 < 0$
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - x - 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 2, x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

6) $0,3^{\frac{x^2-8}{x}} \ge 11\frac{1}{9}$
Приведем обе части к одному основанию:
$0,3 = \frac{3}{10}$.
$11\frac{1}{9} = \frac{100}{9} = (\frac{10}{3})^2 = ((\frac{3}{10})^{-1})^2 = (\frac{3}{10})^{-2}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{10})^{\frac{x^2-8}{x}} \ge (\frac{3}{10})^{-2}$.
Так как основание $\frac{3}{10} < 1$, функция убывающая, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$\frac{x^2-8}{x} \le -2$.
Перенесем -2 в левую часть и приведем к общему знаменателю (при $x \ne 0$):
$\frac{x^2-8}{x} + 2 \le 0 \implies \frac{x^2-8+2x}{x} \le 0 \implies \frac{x^2+2x-8}{x} \le 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя $x^2+2x-8=0$: $x_1 = 2, x_2 = -4$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки -4, 0, 2 на числовой оси и определим знаки. Выбираем интервалы со знаком "минус".
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup (0; 2]$.

7) $0,4 \cdot 6,25^{\frac{1}{x}} \le 2,5^{x-2}$
Приведем все к основанию 2,5:
$2,5 = \frac{5}{2}$.
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.
$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{5}{2})^{-1} \cdot ((\frac{5}{2})^2)^{\frac{1}{x}} \le (\frac{5}{2})^{x-2}$.
$(\frac{5}{2})^{-1 + \frac{2}{x}} \le (\frac{5}{2})^{x-2}$.
Так как основание $\frac{5}{2} > 1$, функция возрастающая, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-1 + \frac{2}{x} \le x-2$.
Приведем к общему знаменателю (при $x \ne 0$):
$\frac{2}{x} - x + 1 \le 0 \implies \frac{2 - x^2 + x}{x} \le 0 \implies \frac{-(x^2-x-2)}{x} \le 0$.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $\frac{x^2-x-2}{x} \ge 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя $x^2-x-2=0$: $x_1=2, x_2=-1$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки -1, 0, 2 на числовой оси и определим знаки. Выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in [-1; 0) \cup [2; +\infty)$.

8) $(\frac{\pi}{4})^{1+\frac{4}{x+2}} \ge (\frac{\pi}{4})^{\frac{9}{x+3}}$
Оценим основание степени: $\pi \approx 3,14$, поэтому $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,14}{4} < 1$.
Так как основание $0 < \frac{\pi}{4} < 1$, функция убывающая, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$1+\frac{4}{x+2} \le \frac{9}{x+3}$.
Область допустимых значений: $x \ne -2$ и $x \ne -3$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$1+\frac{4}{x+2} - \frac{9}{x+3} \le 0 \implies \frac{(x+2)(x+3) + 4(x+3) - 9(x+2)}{(x+2)(x+3)} \le 0$.
$\frac{x^2+5x+6 + 4x+12 - 9x-18}{(x+2)(x+3)} \le 0 \implies \frac{x^2}{(x+2)(x+3)} \le 0$.
Числитель $x^2$ всегда неотрицателен. Неравенство выполняется, если:
1) Числитель равен нулю: $x^2 = 0 \implies x=0$. Это является решением.
2) Числитель положителен ($x \ne 0$), а знаменатель отрицателен: $(x+2)(x+3) < 0$. Это выполняется на интервале $(-3; -2)$.
Объединяя оба случая, получаем решение.
Ответ: $x \in (-3; -2) \cup \{0\}$.

19. Решите неравенство:

1) $3^{x-1} + 3^{x-2} - 3^{x-4} \le 315;$

2) $0.5^{x-2} - 0.5^{x+1} \ge 112.$

1) $3^{x-1} + 3^{x-2} - 3^{x-4} \le 315$

Для решения данного показательного неравенства воспользуемся свойствами степеней, чтобы вынести общий множитель за скобки. Общий множитель будет степень с наименьшим показателем, то есть $3^{x-4}$.

Представим каждый член неравенства в виде произведения с множителем $3^{x-4}$:

$3^{x-1} = 3^{(x-4)+3} = 3^{x-4} \cdot 3^3$

$3^{x-2} = 3^{(x-4)+2} = 3^{x-4} \cdot 3^2$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$3^{x-4} \cdot 3^3 + 3^{x-4} \cdot 3^2 - 3^{x-4} \cdot 1 \le 315$

Вынесем $3^{x-4}$ за скобки:

$3^{x-4}(3^3 + 3^2 - 1) \le 315$

Вычислим значение выражения в скобках:

$27 + 9 - 1 = 35$

Теперь неравенство имеет вид:

$3^{x-4} \cdot 35 \le 315$

Разделим обе части на 35. Так как 35 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$3^{x-4} \le \frac{315}{35}$

$3^{x-4} \le 9$

Представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$3^{x-4} \le 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знак исходного неравенства:

$x - 4 \le 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$x \le 2 + 4$

$x \le 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

2) $0,5^{x-2} - 0,5^{x+1} \ge 112$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней. Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$ и вынесем общий множитель за скобки. Удобно вынести за скобки $(\frac{1}{2})^x$.

$(\frac{1}{2})^{x-2} - (\frac{1}{2})^{x+1} \ge 112$

$(\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^{-2} - (\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^1 \ge 112$

Вынесем $(\frac{1}{2})^x$ за скобки:

$(\frac{1}{2})^x ((\frac{1}{2})^{-2} - \frac{1}{2}) \ge 112$

Вычислим значение выражения в скобках:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4$

$4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{2})^x \cdot \frac{7}{2} \ge 112$

Разделим обе части на $\frac{7}{2}$ (что эквивалентно умножению на $\frac{2}{7}$). Знак неравенства не изменится:

$(\frac{1}{2})^x \ge 112 \cdot \frac{2}{7}$

$(\frac{1}{2})^x \ge 16 \cdot 2$

$(\frac{1}{2})^x \ge 32$

Теперь приведем обе части неравенства к одному основанию. Используем основание 2:

$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$

$32 = 2^5$

Подставим эти значения в неравенство:

$2^{-x} \ge 2^5$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$-x \ge 5$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -5$

Ответ: $x \in (-\infty; -5]$.

20. Решите неравенство:

1) $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 \geq 0;$

2) $11^{2x+1} - 12 \cdot 11^x + 1 < 0;$

3) $9^{x+0.5} + 2 \cdot 3^x - 1 \geq 0;$

4) $2^x + 2^{1-x} \geq 3;$

5) $25 \cdot 0.2^{2x} - 126 \cdot 0.2^x + 5 \leq 0;$

6) $4^{x+0.5} - 7 \cdot 2^x - 4 < 0.$

1) Исходное неравенство: $25^x - 26 \cdot 5^x + 25 \ge 0$.

Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t^2 - 26t + 25 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 26t + 25 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 25$.

Так как парабола $y = t^2 - 26t + 25$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 25$. Оба интервала удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$5^x \le 1$ или $5^x \ge 25$.

$5^x \le 5^0$ или $5^x \ge 5^2$.

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому, сравнивая показатели, получаем: $x \le 0$ или $x \ge 2$.

Ответ: $(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$

2) Исходное неравенство: $11^{2x+1} - 12 \cdot 11^x + 1 < 0$.

Преобразуем левую часть: $11 \cdot 11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 1 < 0$, что равносильно $11 \cdot (11^x)^2 - 12 \cdot 11^x + 1 < 0$.

Сделаем замену $t = 11^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $11t^2 - 12t + 1 < 0$.

Найдем корни уравнения $11t^2 - 12t + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 144 - 44 = 100 = 10^2$.

Корни $t_1 = \frac{12 - 10}{2 \cdot 11} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11}$ и $t_2 = \frac{12 + 10}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$.

Так как парабола $y = 11t^2 - 12t + 1$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{11} < t < 1$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{11} < 11^x < 1$.

Запишем в виде $11^{-1} < 11^x < 11^0$.

Так как основание $11 > 1$, функция возрастающая, следовательно $-1 < x < 0$.

Ответ: $(-1, 0)$

3) Исходное неравенство: $9^{x+0,5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$.

Преобразуем левую часть: $9^x \cdot 9^{0,5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$, что равносильно $3 \cdot (3^x)^2 + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$.

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $3t^2 + 2t - 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 + 2t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.

Корни $t_1 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = -1$ и $t_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Решением неравенства является $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{3}$. Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{1}{3}$.

Выполним обратную замену: $3^x \ge \frac{1}{3}$.

Запишем в виде $3^x \ge 3^{-1}$.

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, следовательно $x \ge -1$.

Ответ: $[-1, +\infty)$

4) Исходное неравенство: $2^x + 2^{1-x} \ge 3$.

Преобразуем левую часть: $2^x + \frac{2}{2^x} \ge 3$.

Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t + \frac{2}{t} \ge 3$.

Так как $t>0$, умножим обе части на $t$, сохранив знак неравенства: $t^2 + 2 \ge 3t$, или $t^2 - 3t + 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Решением неравенства является $t \le 1$ или $t \ge 2$.

Выполним обратную замену: $2^x \le 1$ или $2^x \ge 2$.

Запишем в виде $2^x \le 2^0$ или $2^x \ge 2^1$.

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, следовательно $x \le 0$ или $x \ge 1$.

Ответ: $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$

5) Исходное неравенство: $25 \cdot 0,2^{2x} - 126 \cdot 0,2^x + 5 \le 0$.

Неравенство можно записать как $25 \cdot (0,2^x)^2 - 126 \cdot 0,2^x + 5 \le 0$.

Пусть $t = 0,2^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $25t^2 - 126t + 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $25t^2 - 126t + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-126)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15876 - 500 = 15376 = 124^2$.

Корни $t_1 = \frac{126 - 124}{2 \cdot 25} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$ и $t_2 = \frac{126 + 124}{2 \cdot 25} = \frac{250}{50} = 5$.

Решением неравенства является $\frac{1}{25} \le t \le 5$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{25} \le 0,2^x \le 5$.

Так как $0,2 = \frac{1}{5}$, $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 = 0,2^2$, а $5 = (\frac{1}{5})^{-1} = 0,2^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $0,2^2 \le 0,2^x \le 0,2^{-1}$.

Так как основание $0,2 < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к показателям знаки неравенства меняются на противоположные: $2 \ge x \ge -1$, или $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $[-1, 2]$

6) Исходное неравенство: $4^{x+0,5} - 7 \cdot 2^x - 4 < 0$.

Преобразуем левую часть: $4^x \cdot 4^{0,5} - 7 \cdot 2^x - 4 < 0$, что равносильно $2 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x - 4 < 0$.

Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $2t^2 - 7t - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $2t^2 - 7t - 4 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Корни $t_1 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = 4$.

Решением неравенства является $-\frac{1}{2} < t < 4$. Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < 4$.

Выполним обратную замену: $0 < 2^x < 4$.

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для всех $x$. Решим неравенство $2^x < 4$.

Запишем в виде $2^x < 2^2$.

Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, следовательно $x < 2$.

Ответ: $(-\infty, 2)$

21. Решите неравенство:

1) $10x - 4 \cdot 5x - 125 \cdot 2x + 500 \ge 0;$

2) $\frac{0.6x - 0.216}{2-x} \le 0.$

1) $10^x - 4 \cdot 5^x - 125 \cdot 2^x + 500 \ge 0$

Представим $10^x$ как $(2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$. Неравенство примет вид:

$2^x \cdot 5^x - 4 \cdot 5^x - 125 \cdot 2^x + 500 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(2^x \cdot 5^x - 4 \cdot 5^x) - (125 \cdot 2^x - 500) \ge 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$5^x(2^x - 4) - 125(2^x - 4) \ge 0$

Теперь вынесем общий множитель $(2^x - 4)$ за скобки:

$(5^x - 125)(2^x - 4) \ge 0$

Произведение двух множителей неотрицательно, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны). Рассмотрим две системы неравенств.

Случай 1: Оба множителя неотрицательны.

$\begin{cases} 5^x - 125 \ge 0 \\ 2^x - 4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5^x \ge 125 \\ 2^x \ge 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 5^x \ge 5^3 \\ 2^x \ge 2^2 \end{cases}$

Так как основания степеней $5 > 1$ и $2 > 1$, показательные функции являются возрастающими. Поэтому можно перейти к неравенствам для показателей:

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 3$.

Случай 2: Оба множителя неположительны.

$\begin{cases} 5^x - 125 \le 0 \\ 2^x - 4 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 5^x \le 125 \\ 2^x \le 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 5^x \le 5^3 \\ 2^x \le 2^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \le 3 \\ x \le 2 \end{cases} \implies x \le 2$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

2) $\frac{0.6^x - 0.216}{2-x} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$.

Преобразуем числитель. Заметим, что $0.216 = (\frac{6}{10})^3 = 0.6^3$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{0.6^x - 0.6^3}{2-x} \le 0$

Воспользуемся обобщенным методом интервалов (методом рационализации). Согласно ему, выражение вида $a^f - a^g$ на области определения имеет тот же знак, что и выражение $(a-1)(f-g)$.

В нашем случае $a=0.6$, $f=x$, $g=3$. Знак множителя $(0.6^x - 0.6^3)$ совпадает со знаком произведения $(0.6-1)(x-3)$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$\frac{(0.6-1)(x-3)}{2-x} \le 0$

Поскольку множитель $(0.6-1) = -0.4$ является отрицательным числом, мы можем разделить обе части неравенства на него, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x-3}{2-x} \ge 0$

Чтобы избавиться от минуса при $x$ в знаменателе, умножим дробь на $\frac{-1}{-1}$ (что не меняет ее значения), либо умножим все неравенство на -1 и снова поменяем знак:

$\frac{x-3}{-(x-2)} \ge 0 \implies \frac{x-3}{x-2} \le 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Нули числителя: $x-3=0 \implies x=3$.

Нули знаменателя: $x-2=0 \implies x=2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=3$ будет "закрашенной", так как неравенство нестрогое, а точка $x=2$ — "выколотой", так как она обращает знаменатель в ноль.

Определим знаки выражения $\frac{x-3}{x-2}$ на интервалах $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$, $(3, \infty)$.

При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4-3}{4-2} = \frac{1}{2} > 0$.

При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{2.5-3}{2.5-2} = \frac{-0.5}{0.5} < 0$.

При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0-3}{0-2} = \frac{3}{2} > 0$.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это соответствует интервалу $(2, 3]$ (включая точку $x=3$).

Ответ: $x \in (2, 3]$.

22. Решите неравенство:

1) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x \ge 0;$

2) $9 \cdot 4^{-\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{-\frac{1}{x}} < 4 \cdot 9^{-\frac{1}{x}}.$

1) $6 \cdot 25^x - 5 \cdot 10^x - 4^x \ge 0$

Заметим, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$, $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $10^x = (5 \cdot 2)^x = 5^x \cdot 2^x$.
Перепишем неравенство в виде:

$6 \cdot (5^x)^2 - 5 \cdot 5^x \cdot 2^x - (2^x)^2 \ge 0$

Это однородное показательное неравенство. Поскольку $4^x = (2^x)^2$ всегда больше нуля ($4^x > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $4^x$, не меняя знака неравенства:

$6 \cdot \frac{(5^x)^2}{(2^x)^2} - 5 \cdot \frac{5^x \cdot 2^x}{(2^x)^2} - \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} \ge 0$

$6 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x - 1 \ge 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$6t^2 - 5t - 1 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $6t^2 - 5t - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $t_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$ и $t_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.

Парабола $y = 6t^2 - 5t - 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство $6t^2 - 5t - 1 \ge 0$ выполняется при $t \le -\frac{1}{6}$ или $t \ge 1$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем единственное решение для $t$: $t \ge 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x \ge 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{5}{2}$:

$\left(\frac{5}{2}\right)^x \ge \left(\frac{5}{2}\right)^0$

Так как основание степени $\frac{5}{2} > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

2) $9 \cdot 4^{-\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{-\frac{1}{x}} < 4 \cdot 9^{-\frac{1}{x}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.
Преобразуем основания степеней: $4 = 2^2, 9 = 3^2, 6 = 2 \cdot 3$.
$9 \cdot (2^2)^{-\frac{1}{x}} + 5 \cdot (2 \cdot 3)^{-\frac{1}{x}} < 4 \cdot (3^2)^{-\frac{1}{x}}$

$9 \cdot (2^{-\frac{1}{x}})^2 + 5 \cdot 2^{-\frac{1}{x}} \cdot 3^{-\frac{1}{x}} < 4 \cdot (3^{-\frac{1}{x}})^2$

Это также однородное неравенство. Разделим обе части на $9^{-\frac{1}{x}} = (3^{-\frac{1}{x}})^2 > 0$. Знак неравенства не изменится.

$9 \cdot \frac{(2^{-\frac{1}{x}})^2}{(3^{-\frac{1}{x}})^2} + 5 \cdot \frac{2^{-\frac{1}{x}} \cdot 3^{-\frac{1}{x}}}{(3^{-\frac{1}{x}})^2} < 4$

$9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{2}{x}} + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} - 4 < 0$

Сделаем замену. Пусть $y = \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}}$, где $y > 0$.

$9y^2 + 5y - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $9y^2 + 5y - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни: $y_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$ и $y_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.

Парабола $f(y) = 9y^2 + 5y - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство $9y^2 + 5y - 4 < 0$ выполняется между корнями: $-1 < y < \frac{4}{9}$.

С учетом условия $y > 0$, получаем: $0 < y < \frac{4}{9}$.

Вернемся к замене:

$0 < \left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \frac{4}{9}$

Левая часть неравенства $\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} > 0$ выполняется всегда. Решим правую часть:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \frac{4}{9}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{x}} < \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{1}{x} > 2$

Перенесем 2 в левую часть:

$-\frac{1}{x} - 2 > 0$

$\frac{-1 - 2x}{x} > 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{2x+1}{x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов.
Корень числителя: $2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
Корень знаменателя: $x=0$.
Наносим точки на числовую ось и определяем знаки на интервалах. Выражение отрицательно между корнями.

$-\frac{1}{2} < x < 0$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, 0)$.

23. Найдите:

1) $\log_6 36$;

2) $\log_{17} \frac{1}{17}$;

3) $\log_{19} 1$;

4) $\log_5 5$;

5) $\log_2 0.125$;

6) $\log_{49} 7$;

7) $\lg 10000$;

8) $\log_9 27$;

9) $\log_{0.5} 32$.

1) $\log_{6}36;$

По определению логарифма, $\log_{b}a=x$ означает, что $b^x=a$. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 6, чтобы получить 36.

Мы знаем, что $6^2 = 36$.

Следовательно, $\log_{6}36 = 2$.

Ответ: 2

2) $\log_{17}\frac{1}{17};$

Используем свойство степеней: $\frac{1}{a} = a^{-1}$. Таким образом, $\frac{1}{17} = 17^{-1}$.

Подставим это в логарифм: $\log_{17}17^{-1}$.

Используя основное свойство логарифма $\log_{a}a^x = x$, получаем:

$\log_{17}17^{-1} = -1$.

Ответ: -1

3) $\log_{19}1;$

Логарифм единицы по любому допустимому основанию ($b>0$, $b\neq1$) всегда равен нулю. Это следует из того, что любое число в нулевой степени равно единице: $19^0 = 1$.

Следовательно, $\log_{19}1 = 0$.

Ответ: 0

4) $\log_{5}5;$

Логарифм числа по основанию, равному этому же числу, всегда равен единице, так как $a^1=a$.

В данном случае $5^1 = 5$, поэтому $\log_{5}5 = 1$.

Ответ: 1

5) $\log_{2}0,125;$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Теперь нужно найти $\log_{2}\frac{1}{8}$.

Представим $\frac{1}{8}$ как степень числа 2. Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

Получаем: $\log_{2}2^{-3}$.

Используя свойство $\log_{a}a^x = x$, находим, что $\log_{2}2^{-3} = -3$.

Ответ: -3

6) $\log_{49}7;$

Обозначим $\log_{49}7 = x$. По определению логарифма, это означает, что $49^x = 7$.

Заметим, что $49 = 7^2$. Подставим это в уравнение:

$(7^2)^x = 7^1$.

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $7^{2x} = 7^1$.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5

7) $\lg 10 000;$

Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Таким образом, нам нужно найти $\log_{10}10 000$.

Представим 10 000 как степень числа 10: $10 000 = 10^4$.

Получаем: $\log_{10}10^4$.

Используя свойство $\log_{a}a^x = x$, находим, что $\log_{10}10^4 = 4$.

Ответ: 4

8) $\log_{9}27;$

Обозначим $\log_{9}27 = x$. Это означает, что $9^x = 27$.

Представим основание 9 и число 27 как степени одного и того же числа, в данном случае 3:

$9 = 3^2$

$27 = 3^3$

Подставим эти значения в уравнение: $(3^2)^x = 3^3$.

Используя свойство степеней, получаем: $3^{2x} = 3^3$.

Приравниваем показатели: $2x = 3$, откуда $x = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: 1,5

9) $\log_{0,5}32.$

Обозначим $\log_{0,5}32 = x$. Это означает, что $(0,5)^x = 32$.

Представим основание 0,5 и число 32 как степени числа 2.

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$32 = 2^5$

Подставим эти значения в уравнение: $(2^{-1})^x = 2^5$.

Используя свойство степеней, получаем: $2^{-x} = 2^5$.

Приравниваем показатели степеней: $-x = 5$, откуда $x = -5$.

Ответ: -5