Номер 19, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Решите неравенство:

1) $3^{x-1} + 3^{x-2} - 3^{x-4} \le 315;$

2) $0.5^{x-2} - 0.5^{x+1} \ge 112.$

1) $3^{x-1} + 3^{x-2} - 3^{x-4} \le 315$

Для решения данного показательного неравенства воспользуемся свойствами степеней, чтобы вынести общий множитель за скобки. Общий множитель будет степень с наименьшим показателем, то есть $3^{x-4}$.

Представим каждый член неравенства в виде произведения с множителем $3^{x-4}$:

$3^{x-1} = 3^{(x-4)+3} = 3^{x-4} \cdot 3^3$

$3^{x-2} = 3^{(x-4)+2} = 3^{x-4} \cdot 3^2$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$3^{x-4} \cdot 3^3 + 3^{x-4} \cdot 3^2 - 3^{x-4} \cdot 1 \le 315$

Вынесем $3^{x-4}$ за скобки:

$3^{x-4}(3^3 + 3^2 - 1) \le 315$

Вычислим значение выражения в скобках:

$27 + 9 - 1 = 35$

Теперь неравенство имеет вид:

$3^{x-4} \cdot 35 \le 315$

Разделим обе части на 35. Так как 35 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$3^{x-4} \le \frac{315}{35}$

$3^{x-4} \le 9$

Представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$3^{x-4} \le 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знак исходного неравенства:

$x - 4 \le 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$x \le 2 + 4$

$x \le 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

2) $0,5^{x-2} - 0,5^{x+1} \ge 112$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней. Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$ и вынесем общий множитель за скобки. Удобно вынести за скобки $(\frac{1}{2})^x$.

$(\frac{1}{2})^{x-2} - (\frac{1}{2})^{x+1} \ge 112$

$(\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^{-2} - (\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^1 \ge 112$

Вынесем $(\frac{1}{2})^x$ за скобки:

$(\frac{1}{2})^x ((\frac{1}{2})^{-2} - \frac{1}{2}) \ge 112$

Вычислим значение выражения в скобках:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4$

$4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{2})^x \cdot \frac{7}{2} \ge 112$

Разделим обе части на $\frac{7}{2}$ (что эквивалентно умножению на $\frac{2}{7}$). Знак неравенства не изменится:

$(\frac{1}{2})^x \ge 112 \cdot \frac{2}{7}$

$(\frac{1}{2})^x \ge 16 \cdot 2$

$(\frac{1}{2})^x \ge 32$

Теперь приведем обе части неравенства к одному основанию. Используем основание 2:

$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$

$32 = 2^5$

Подставим эти значения в неравенство:

$2^{-x} \ge 2^5$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$-x \ge 5$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -5$

Ответ: $x \in (-\infty; -5]$.