Номер 24, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. Найдите значение выражения:

1) $ \log_{0.5} \log_3 81; $

2) $ \log_4 \sin \frac{\pi}{6}; $

3) $ \log_{121} 11 - 6\log_7 \sqrt[3]{7} + \log_5 \frac{1}{25}; $

4) $ \log_{18} 3 + \log_{18} 6; $

5) $ \log_{13} 26 - \log_{13} 2; $

6) $ \frac{\log_4 0,0001}{\log_4 10}; $

7) $ \log_{\sqrt{2}} 1024; $

8) $ 6^{3\log_6 2}; $

9) $ 49^{1+\log_7 2}; $

10) $ 2^{\frac{1}{2\log_{81} 2}}. $

1) Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_3 81$. Так как $81 = 3^4$, то $log_3 81 = 4$. Теперь исходное выражение принимает вид $log_{0.5} 4$. Представим $0.5$ как $\frac{1}{2}$ или $2^{-1}$, а $4$ как $2^2$. По определению логарифма $log_{a}b = c \iff a^c = b$, имеем $log_{2^{-1}}(2^2)$. Используя свойство $log_{a^k} b = \frac{1}{k}log_a b$, получаем $log_{2^{-1}}(2^2) = \frac{1}{-1}log_2(2^2) = -1 \cdot 2 = -2$.

Ответ: -2

2) Сначала найдем значение $\sin(\frac{\pi}{6})$. Из тригонометрии известно, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Выражение примет вид $log_4(\frac{1}{2})$. Пусть $log_4(\frac{1}{2}) = x$, тогда по определению логарифма $4^x = \frac{1}{2}$. Представим обе части как степени двойки: $(2^2)^x = 2^{-1}$, что равносильно $2^{2x} = 2^{-1}$. Приравнивая показатели степени, получаем $2x=-1$, откуда $x=-\frac{1}{2}$.

Ответ: -0,5

3) Вычислим каждое слагаемое по отдельности. Первое слагаемое: $log_{121} 11 = log_{11^2} 11 = \frac{1}{2}log_{11} 11 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Второе слагаемое: $6log_7 \sqrt[3]{7} = 6log_7(7^{1/3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2$. Третье слагаемое: $log_5(\frac{1}{25}) = log_5(5^{-2}) = -2 \cdot log_5 5 = -2$. Теперь сложим все части: $\frac{1}{2} - 2 + (-2) = 0.5 - 4 = -3.5$.

Ответ: -3,5

4) Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$. Получаем $log_{18} 3 + log_{18} 6 = log_{18}(3 \cdot 6) = log_{18} 18$. Так как $log_a a = 1$, то $log_{18} 18 = 1$.

Ответ: 1

5) Воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$. Получаем $log_{13} 26 - log_{13} 2 = log_{13}(\frac{26}{2}) = log_{13} 13$. Так как $log_a a = 1$, то $log_{13} 13 = 1$.

Ответ: 1

6) Применим формулу перехода к новому основанию для логарифмов: $\frac{log_c a}{log_c b} = log_b a$. В нашем случае $c=4$, $a=0.0001$, $b=10$. Следовательно, $\frac{log_4 0.0001}{log_4 10} = log_{10} 0.0001$. Так как $0.0001 = 10^{-4}$, то $log_{10} 0.0001 = log_{10}(10^{-4}) = -4$.

Ответ: -4

7) Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $1024 = 2^{10}$.$log_{\sqrt{2}} 1024 = log_{2^{1/2}} 2^{10}$. Используя свойство $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}log_a b$, получаем $\frac{10}{1/2}log_2 2 = 20 \cdot 1 = 20$.

Ответ: 20

8) Используя свойство $k \cdot log_a b = log_a(b^k)$, преобразуем показатель: $3log_6 2 = log_6(2^3) = log_6 8$. Выражение принимает вид $6^{log_6 8}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{log_a b} = b$, получаем $6^{log_6 8} = 8$.

Ответ: 8

9) Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем $49^{1 + log_7 2} = 49^1 \cdot 49^{log_7 2}$. Преобразуем второй множитель: $49^{log_7 2} = (7^2)^{log_7 2} = 7^{2 \cdot log_7 2} = 7^{log_7(2^2)} = 7^{log_7 4}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{log_a b} = b$, имеем $7^{log_7 4} = 4$. Итоговое значение: $49 \cdot 4 = 196$.

Ответ: 196

10) Упростим показатель степени. Используем свойство $\frac{1}{k \cdot log_b a} = \frac{1}{k} \cdot log_a b$. В нашем случае показатель равен $\frac{1}{2\log_{81} 2} = \frac{1}{2}log_2 81$. Далее используем свойство $k \cdot log_a b = log_a(b^k)$: $\frac{1}{2}log_2 81 = log_2(81^{1/2}) = log_2(\sqrt{81}) = log_2 9$. Тогда исходное выражение равно $2^{log_2 9}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{log_a b} = b$, получаем $2^{log_2 9} = 9$.

Ответ: 9